2.16- A distribuição de velocidades em uma determinada secção de uma tubulação cilíndrica e dada por:
V=\frac{B}{4 \mu}\left(\frac{D^{2}}{4}-r^{2}\right)
no qual: B e uma constante, r distância do eixo da tubulação ao ponto considerado, D o diâmetro da tubulação e V a velocidade a uma distância r do eixo. Determinar:
a) A tensão cortante na parede da tubulação.
b) A tensão cortante em um ponto tal que r=D / 4.
c) Se a distribuição de velocidades se mantém em um comprimento L ao longo da tubulação, que força de reação sofre o fluido devido à parede da tubulação?

Passo 1

O enunciado nos dá a distribuição de velocidades em uma tubulação cilíndrica
V(r)=\frac{B}{4\mu}\Bigl(\frac{D^{2}}{4}-r^{2}\Bigr)
e pede: (a) a tensão de cisalhamento na parede, (b) a tensão em r=D/4 e (c) a força de reação que o fluido sofre devido à parede num trecho de comprimento L. Para isso usamos a teoria de escoamento de Newtoniano em tubo, onde a tensão de cisalhamento é
\tau(r)=\mu\,\frac{dV}{dr}
e a força resultante da parede é a tensão na parede vezes a área de contato.

Passo 2

Calculamos a derivada de V(r) em relação a r:
\frac{dV}{dr} =\frac{B}{4\mu}\,\frac{d}{dr}\Bigl(\tfrac{D^{2}}{4}-r^{2}\Bigr) =\frac{B}{4\mu}\,(-2r) =-\frac{B\,r}{2\mu}.

Passo 3

Substituindo em \tau(r)=\mu\,\dfrac{dV}{dr} obtemos a expressão geral da tensão de cisalhamento:
\tau(r) =\mu\!\left(-\frac{B\,r}{2\mu}\right) =-\frac{B\,r}{2}.
O sinal negativo indica que a tensão age na direção oposta ao aumento de r.

Passo 4

Para a tensão na parede, tomamos r=\tfrac{D}{2}:
\tau_{w}=\tau\bigl(r=\tfrac{D}{2}\bigr) =-\frac{B}{2}\,\frac{D}{2} =-\frac{B\,D}{4}.
Em módulo, \bigl|\tau_{w}\bigr|=\tfrac{B\,D}{4}.

Passo 5

Para r=D/4:
\tau\bigl(r=\tfrac{D}{4}\bigr) =-\frac{B}{2}\,\frac{D}{4} =-\frac{B\,D}{8}.
Em módulo, \bigl|\tau(D/4)\bigr|=\tfrac{B\,D}{8}.

Passo 6

A força de reação que a parede exerce sobre o fluido num comprimento L é a tensão na parede vezes a área interna do tubo:
F =\tau_{w}\times(\text{área de contato}) =\tau_{w}\times(\pi\,D\,L) =-\frac{B\,D}{4}\,\pi\,D\,L =-\frac{\pi\,B\,D^{2}\,L}{4}.á
Em módulo,
\bigl|F\bigr| =\frac{\pi\,B\,D^{2}\,L}{4}.

Resposta

a) \displaystyle \tau_{w}=-\frac{B\,D}{4} (módulo \tfrac{B\,D}{4}).
b) \displaystyle \tau\bigl(r=\tfrac{D}{4}\bigr)=-\frac{B\,D}{8} (módulo \tfrac{B\,D}{8}).
c) \displaystyle F=-\frac{\pi\,B\,D^{2}\,L}{4} (módulo \tfrac{\pi\,B\,D^{2}\,L}{4}).

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