2.16- A distribuição de velocidades em uma determinada secção de uma tubulação cilíndrica e dada por: V=\frac{B}{4 \mu}\left(\frac{D^{2}}{4}-r^{2}\right)
no qual: B e uma constante, r distância do eixo da tubulação ao ponto considerado, D o diâmetro da tubulação e V a velocidade a uma distância r do eixo. Determinar:
a) A tensão cortante na parede da tubulação.
b) A tensão cortante em um ponto tal que r=D / 4.
c) Se a distribuição de velocidades se mantém em um comprimento L ao longo da tubulação, que força de reação sofre o fluido devido à parede da tubulação?
Passo 1
O enunciado nos dá a distribuição de velocidades em uma tubulação cilíndrica
e pede: (a) a tensão de cisalhamento na parede, (b) a tensão em r=D/4 e (c) a força de reação que o fluido sofre devido à parede num trecho de comprimento L. Para isso usamos a teoria de escoamento de Newtoniano em tubo, onde a tensão de cisalhamento é
\tau(r)=\mu\,\frac{dV}{dr}
e a força resultante da parede é a tensão na parede vezes a área de contato.
A força de reação que a parede exerce sobre o fluido num comprimento L é a tensão na parede vezes a área interna do tubo:
F =\tau_{w}\times(\text{área de contato}) =\tau_{w}\times(\pi\,D\,L) =-\frac{B\,D}{4}\,\pi\,D\,L =-\frac{\pi\,B\,D^{2}\,L}{4}.á
Em módulo,
\bigl|F\bigr| =\frac{\pi\,B\,D^{2}\,L}{4}.
Resposta
a) \displaystyle \tau_{w}=-\frac{B\,D}{4} (módulo \tfrac{B\,D}{4}).
b) \displaystyle \tau\bigl(r=\tfrac{D}{4}\bigr)=-\frac{B\,D}{8} (módulo \tfrac{B\,D}{8}).
c) \displaystyle F=-\frac{\pi\,B\,D^{2}\,L}{4} (módulo \tfrac{\pi\,B\,D^{2}\,L}{4}).