- Através de uma brecha estreita de altura
, uma placa delgada e de grande área está sendo puxada com velocidade constante
. Sobre uma face da placa existe um óleo de viscosidade
e sob a outra face um óleo de viscosidade
. Calcular a posição da placa, com relação à parede da brecha, de tal forma que a força tangencial sobre ela seja mínima. Verifique a resposta quando
.
Passo 1
O enunciado descreve uma placa de grande área que desliza com velocidade constante
dentro de uma fenda de altura
. De um lado da placa há um óleo de viscosidade
e do outro um óleo de viscosidade
. O escoamento em cada cavidade é do tipo Couette (perfil linear de velocidades), e a força tangencial na placa é dada pela tensão de cisalhamento
. Vamos expressar as tensões em cada lado, somar para obter a força total e depois minimizar em função da posição da placa.
Passo 2
Seja
a distância da placa até a parede onde está o óleo de viscosidade
.
Então a espessura do filme de óleo viscosidade é
e a do outro é
.
Como o perfil de velocidades é linear, as tensões de cisalhamento na placa são
Então a espessura do filme de óleo viscosidade
Como o perfil de velocidades é linear, as tensões de cisalhamento na placa são
Passo 3
A força tangencial total por unidade de área vale
Passo 4
Para achar a posição
que minimiza
, fazemos
Passo 5
Cancelando
e rearranjando, obtemos
Passo 6
Para
), temos
e
ou seja, a placa se posiciona exatamente no meio da fenda.
Resposta
e para
,
.