• Através de uma brecha estreita de altura h, uma placa delgada e de grande área está sendo puxada com velocidade constante \mathrm{v}_{0}. Sobre uma face da placa existe um óleo de viscosidade k \mu e sob a outra face um óleo de viscosidade \mu. Calcular a posição da placa, com relação à parede da brecha, de tal forma que a força tangencial sobre ela seja mínima. Verifique a resposta quando \mathrm{k}=1.

Passo 1

O enunciado descreve uma placa de grande área que desliza com velocidade constante v_0 dentro de uma fenda de altura h. De um lado da placa há um óleo de viscosidade k\mu e do outro um óleo de viscosidade \mu. O escoamento em cada cavidade é do tipo Couette (perfil linear de velocidades), e a força tangencial na placa é dada pela tensão de cisalhamento \tau=\mu\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}y. Vamos expressar as tensões em cada lado, somar para obter a força total e depois minimizar em função da posição da placa.

Passo 2

Seja d a distância da placa até a parede onde está o óleo de viscosidade k\mu.
Então a espessura do filme de óleo viscosidade k\mu é d e a do outro é h-d.
Como o perfil de velocidades é linear, as tensões de cisalhamento na placa são
\tau_1 = k\mu\,\frac{v_0}{d}, \quad \tau_2 = \mu\,\frac{v_0}{\,h-d\,}.

Passo 3

A força tangencial total por unidade de área vale
\tau_{\rm tot} = \tau_1 + \tau_2 = k\mu\,\frac{v_0}{d} + \mu\,\frac{v_0}{\,h-d\,}.

Passo 4

Para achar a posição d que minimiza \tau_{\rm tot}, fazemos
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}d}\biggl(k\mu\,\frac{v_0}{d} + \mu\,\frac{v_0}{h-d}\biggr) = -k\mu\,\frac{v_0}{d^2} + \mu\,\frac{v_0}{(h-d)^2} =0.

Passo 5

Cancelando \mu v_0 e rearranjando, obtemos
\frac{k}{d^2} = \frac{1}{(h-d)^2} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{h-d} = \frac{\sqrt{k}}{d} \;\Longrightarrow\; d = \frac{\sqrt{k}}{1 + \sqrt{k}}\,h.

Passo 6

Para \(k=1), temos \sqrt{k}=1 e
d = \frac{1}{1+1}\,h = \frac{h}{2},
ou seja, a placa se posiciona exatamente no meio da fenda.

Resposta

d = \frac{\sqrt{k}}{1 + \sqrt{k}}\,h,
e para k=1, d = h/2.

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