2.14- Uma placa delgada e de grande área é colocada no meio (centro) de uma brecha cheia com um óleo de viscosidade
e é puxada com uma velocidade constante v. Se um outro óleo de viscosidade
for colocado na brecha substituindo o primeiro, verifica-se que para a mesma velocidade v a força de atrito sobre a placa só será igual a força anterior se a placa estiver localizada fora do eixo de simetria (centro) da brecha, mas paralela as paredes. Determine, em termos de
(altura da brecha), a que distância deve ficar a placa da parede mais próxima, para que a força de atrito seja a mesma para os dois óleos.
Discuta a fórmula encontrada. O que acontece se
? Faça todas as hipóteses necessárias à resolução do problema.
Discuta a fórmula encontrada. O que acontece se
Passo 1
O enunciado descreve uma placa infinita de área
e espessura desprezível, movendo-se com velocidade constante
no interior de uma brecha paralela às paredes, de altura total
. Inicialmente a placa está no centro e o fluido na brecha tem viscosidade
, resultando numa força de atrito
. Quando se troca o fluido por outro de viscosidade
, a força de atrito só volta a ser
se deslocarmos a placa a uma distância
da parede inferior (e
da superior). Vamos modelar o escoamento como duas camadas de Couette em série e determinar
em função de
,
e
.
Passo 2
Com o fluido de viscosidade
e a placa centrada, cada camada tem espessura
. A taxa de deformação é
e a tensão de cisalhamento em cada face vale
Como há duas faces, a força total
sobre a placa é
Passo 3
Com o fluido de viscosidade
e a placa a uma distância
da parede inferior, temos duas camadas de alturas
e
. As tensões são
e a força total fica
Passo 4
Queremos
. Dividindo por
em ambos os lados, chega-se a
Colocando sobre um denominador comum:
Passo 5
A última equação é quadrática em
:
Pela fórmula de Bhaskara,
Passo 6
Discussão da fórmula:
- Se
, temos e existem duas posições simétricas em relação ao centro. - Se
, a raiz se anula e , ou seja, a placa fica no centro como antes. - Se
, então e não há solução real: a força de atrito com viscosidade maior nunca pode ser reduzida até o valor original, independentemente do deslocamento da placa.
Resposta
válida apenas quando
. Quando
, não existe posição que iguale a força de atrito original.