2.14- Uma placa delgada e de grande área é colocada no meio (centro) de uma brecha cheia com um óleo de viscosidade \mu_{o} e é puxada com uma velocidade constante v. Se um outro óleo de viscosidade \mu_{1} for colocado na brecha substituindo o primeiro, verifica-se que para a mesma velocidade v a força de atrito sobre a placa só será igual a força anterior se a placa estiver localizada fora do eixo de simetria (centro) da brecha, mas paralela as paredes. Determine, em termos de \mu_{o}, \mu_{1} \mathrm{e} \mathrm{h} (altura da brecha), a que distância deve ficar a placa da parede mais próxima, para que a força de atrito seja a mesma para os dois óleos.
Discuta a fórmula encontrada. O que acontece se \mu_{1}>\mu_{o} ? Faça todas as hipóteses necessárias à resolução do problema.

Passo 1

O enunciado descreve uma placa infinita de área A e espessura desprezível, movendo-se com velocidade constante v no interior de uma brecha paralela às paredes, de altura total h. Inicialmente a placa está no centro e o fluido na brecha tem viscosidade \mu_{0}, resultando numa força de atrito F_{0}. Quando se troca o fluido por outro de viscosidade \mu_{1}, a força de atrito só volta a ser F_{0} se deslocarmos a placa a uma distância y da parede inferior (e h-y da superior). Vamos modelar o escoamento como duas camadas de Couette em série e determinar y em função de \mu_{0}, \mu_{1} e h.

Passo 2

Com o fluido de viscosidade \mu_{0} e a placa centrada, cada camada tem espessura h/2. A taxa de deformação é \dot\gamma=v/(h/2) e a tensão de cisalhamento em cada face vale
\tau_0 = \mu_{0}\,\frac{v}{h/2} = \frac{2\mu_{0}v}{h}\,.
Como há duas faces, a força total F_{0} sobre a placa é
F_{0} = A\bigl(\tau_0+\tau_0\bigr)=2A\frac{2\mu_{0}v}{h}=\frac{4A\mu_{0}v}{h}\,.

Passo 3

Com o fluido de viscosidade \mu_{1} e a placa a uma distância y da parede inferior, temos duas camadas de alturas y e h-y. As tensões são
\tau_{\rm inf}=\mu_{1}\,\frac{v}{y}, \qquad \tau_{\rm sup}=\mu_{1}\,\frac{v}{h-y},
e a força total fica
F_{1} = A\bigl(\tau_{\rm inf}+\tau_{\rm sup}\bigr) = A\,\mu_{1}v\Bigl(\frac1y+\frac1{h-y}\Bigr).

Passo 4

Queremos F_{1}=F_{0}. Dividindo por A\,v em ambos os lados, chega-se a
\mu_{1}\Bigl(\frac1y+\frac1{h-y}\Bigr) =\frac{4\mu_{0}}{h}.
Colocando sobre um denominador comum:
\frac{\mu_{1}\,h}{y(h-y)}=\frac{4\mu_{0}}{h} \quad\Longrightarrow\quad y(h-y)=\frac{h^{2}\,\mu_{1}}{4\mu_{0}}.

Passo 5

A última equação é quadrática em y:
y^{2}-hy+\frac{h^{2}\,\mu_{1}}{4\mu_{0}}=0.
Pela fórmula de Bhaskara,
y =\frac{h\pm\sqrt{\,h^{2}-4\cdot1\cdot\bigl(\tfrac{h^{2}\mu_{1}}{4\mu_{0}}\bigr)\,}}{2} =\frac{h}{2}\Bigl(1\pm\sqrt{1-\tfrac{\mu_{1}}{\mu_{0}}}\Bigr).

Passo 6

Discussão da fórmula:
  • Se \mu_{1}<\mu_{0}, temos 1-\mu_{1}/\mu_{0}>0 e existem duas posições simétricas em relação ao centro.
  • Se \mu_{1}=\mu_{0}, a raiz se anula e y=h/2, ou seja, a placa fica no centro como antes.
  • Se \mu_{1}>\mu_{0}, então 1-\mu_{1}/\mu_{0}<0 e não há solução real: a força de atrito com viscosidade maior nunca pode ser reduzida até o valor original, independentemente do deslocamento da placa.

Resposta

y =\frac{h}{2}\Bigl(1\pm\sqrt{1-\tfrac{\mu_{1}}{\mu_{0}}}\Bigr),
válida apenas quando \mu_{1}\le\mu_{0}. Quando \mu_{1}>\mu_{0}, não existe posição que iguale a força de atrito original.

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