16*. Um fio de raio R transporta uma corrente I cuja densidade é uniforme em seu corte (ou seja, na seção transversal).
(a) Calcule o campo magnético em pontos à distância r do centro do fio.
(b) Calcule o valor máximo de B e faça um esboço de B.

Passo 1

O enunciado pede o campo magnético gerado por um fio cilíndrico de raio R que carrega uma corrente total I com densidade uniforme na sua seção. O conteúdo principal é a Lei de Ampère, que relaciona a circulação do campo magnético a corrente elétrica que atravessa uma superfície. Para aproveitar a simetria cilíndrica, vamos escolher curvas circulares de raio r concêntricas ao fio.

Passo 2

Primeiro consideramos pontos internos ao fio ( r<R). A densidade de corrente volumétrica é constante, então a corrente que atravessa um círculo de raio r é proporcional à área desse círculo. Seja I_{\rm enc}(r) a corrente interna a essa curva de Ampère, temos
I_{\rm enc}(r)=I\,\frac{\pi r^{2}}{\pi R^{2}} =I\,\frac{r^{2}}{R^{2}}.
Pela Lei de Ampère, a circulação do campo magnético ao longo de um círculo de raio r vale
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = B(r)\,(2\pi r) =\mu_{0}\,I_{\rm enc}(r).
Logo, para r<R,
B(r)=\frac{\mu_{0}}{2\pi r}\,I_{\rm enc}(r) =\frac{\mu_{0}}{2\pi r}\,I\,\frac{r^{2}}{R^{2}} =\frac{\mu_{0}I}{2\pi R^{2}}\,r.

Passo 3

Agora para pontos externos ao fio ( r\ge R), toda a corrente I fica dentro da curva de Ampère. Então
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} =B(r)\,(2\pi r) =\mu_{0}\,I
e portanto, para r\ge R,
B(r)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}.

Passo 4

Para encontrar o valor máximo de B, observamos que dentro do fio B(r) cresce como r até atingir, em r=R,
B(R)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi R}.
Para r>R o campo decai como 1/r, portanto o máximo ocorre em r=R. O esboço de B(r) versus r é uma reta passando por zero até r=R (crescimento linear) e depois uma curva hiperbólica decrescente para r>R.

Resposta

(a)
B(r)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\mu_{0}I}{2\pi R^{2}}\,r, & r<R,\\[6pt] \displaystyle \frac{\mu_{0}I}{2\pi r}, & r\ge R. \end{cases}
(b)
B_{\max}=B(R)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi R},
com B(r) crescendo linearmente até r=R e depois decaindo como 1/r.]

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