2.16 No ponto
, expresse
no sistema esférico e
no sistema retangular.
Passo 1
O enunciado dá o ponto
(ou seja
,
,
) e pede duas coisas:
- Expressar
no sistema esférico (isto é, escrever em função dos versores esféricos ) no ponto . - Expressar
no sistema retangular (isto é, escrever em função de ) no mesmo ponto .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coordenadas cartesianas do ponto:
, , . - É preciso calcular as coordenadas esféricas
correspondentes a para poder escrever os versores esféricos naquele ponto.
Passo 2
Vou calcular
a partir de
. As fórmulas básicas são:
Substituindo
,
,
:
A partir disso:
Para
usamos a projeção no plano
:
logo
Observação sobre quadrante: como
e
,
está no primeiro quadrante e as fórmulas de seno e cosseno acima estão corretas.
Passo 3
Agora lembro as fórmulas (padrão) que relacionam versores esféricos com versores cartesianos:
Essas fórmulas significam, em palavras, que o versor radial
tem componentes nas três direções cartesianas dadas por projetar o vetor radial unitário sobre cada eixo, etc.
Passo 4
Vou construir
no sistema retangular no ponto
usando a fórmula acima e os valores de seno/cosseno já calculados. Primeiro calculo os produtos:
Substituindo em
:
Comentário prático: esse resultado é exatamente o vetor posição normalizado
, como era de esperar.
Passo 5
Agora expresso
no sistema esférico. Observação útil:
está contida no plano gerado por
e
(não tem componente em
), e pode-se escrever:
Vou justificar rapidamente: substituindo as expansões de
e
em termos de
e formando
, os componentes em
e
cancelam e fica exatamente
(cheque rápido: coeficiente de
será
). Portanto a identidade é correta.
Passo 6
Agora avalio numericamente os coeficientes em
. Já tenho
Substituindo na identidade:
Isso dá
escrito apenas em termos dos versores esféricos
e
no ponto
. (Não há componente em
.)