2.16 No ponto T(2,3,-4), expresse \mathbf{a}_{z} no sistema esférico e \mathbf{a}_{r} no sistema retangular.

Passo 1

O enunciado dá o ponto T(2,3,-4) (ou seja x=2, y=3, z=-4) e pede duas coisas:
  • Expressar \mathbf{a}_{z} no sistema esférico (isto é, escrever \mathbf{a}_z em função dos versores esféricos \mathbf{a}_r,\mathbf{a}_\theta,\mathbf{a}_\varphi) no ponto T.
  • Expressar \mathbf{a}_{r} no sistema retangular (isto é, escrever \mathbf{a}_r em função de \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z) no mesmo ponto T.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coordenadas cartesianas do ponto: x=2, y=3, z=-4.
  • É preciso calcular as coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) correspondentes a T para poder escrever os versores esféricos naquele ponto.

Passo 2

Vou calcular (r,\theta,\varphi) a partir de (x,y,z). As fórmulas básicas são:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{z}{r}\right),\qquad \varphi=\operatorname{atan2}(y,x).
Substituindo x=2, y=3, z=-4:
r=\sqrt{2^{2}+3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}.
A partir disso:
\cos\theta=\frac{z}{r}=\frac{-4}{\sqrt{29}},\qquad \sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=\sqrt{1-\frac{16}{29}}=\sqrt{\frac{13}{29}}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}.
Para \varphi usamos a projeção no plano xy:
\rho_{xy}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13},
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\cos\varphi=\frac{x}{\rho_{xy}}=\frac{2}{\sqrt{13}},\qquad \sin\varphi=\frac{y}{\rho_{xy}}=\frac{3}{\sqrt{13}}.
Observação sobre quadrante: como x>0 e y>0, \varphi está no primeiro quadrante e as fórmulas de seno e cosseno acima estão corretas.

Passo 3

Agora lembro as fórmulas (padrão) que relacionam versores esféricos com versores cartesianos:
\mathbf{a}_r=\sin\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_x+\sin\theta\sin\varphi\,\mathbf{a}_y+\cos\theta\,\mathbf{a}_z,
\mathbf{a}_\theta=\cos\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_x+\cos\theta\sin\varphi\,\mathbf{a}_y-\sin\theta\,\mathbf{a}_z,
\mathbf{a}_\varphi=-\sin\varphi\,\mathbf{a}_x+\cos\varphi\,\mathbf{a}_y.
Essas fórmulas significam, em palavras, que o versor radial \mathbf{a}_r tem componentes nas três direções cartesianas dadas por projetar o vetor radial unitário sobre cada eixo, etc.

Passo 4

Vou construir \mathbf{a}_r no sistema retangular no ponto T usando a fórmula acima e os valores de seno/cosseno já calculados. Primeiro calculo os produtos:
\sin\theta\cos\varphi=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{29}},
\sin\theta\sin\varphi=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3}{\sqrt{29}},
\cos\theta=\frac{-4}{\sqrt{29}}.
Substituindo em \mathbf{a}_r:
\mathbf{a}_r=\frac{2}{\sqrt{29}}\,\mathbf{a}_x+\frac{3}{\sqrt{29}}\,\mathbf{a}_y-\frac{4}{\sqrt{29}}\,\mathbf{a}_z.
Comentário prático: esse resultado é exatamente o vetor posição normalizado \dfrac{1}{r}(x\,\mathbf{a}_x+y\,\mathbf{a}_y+z\,\mathbf{a}_z), como era de esperar.

Passo 5

Agora expresso \mathbf{a}_z no sistema esférico. Observação útil: \mathbf{a}_z está contida no plano gerado por \mathbf{a}_r e \mathbf{a}_\theta (não tem componente em \mathbf{a}_\varphi), e pode-se escrever:
\mathbf{a}_z=\cos\theta\,\mathbf{a}_r-\sin\theta\,\mathbf{a}_\theta.
Vou justificar rapidamente: substituindo as expansões de \mathbf{a}_r e \mathbf{a}_\theta em termos de \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z e formando \cos\theta\,\mathbf{a}_r-\sin\theta\,\mathbf{a}_\theta, os componentes em \mathbf{a}_x e \mathbf{a}_y cancelam e fica exatamente \mathbf{a}_z (cheque rápido: coeficiente de \mathbf{a}_z será \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1). Portanto a identidade é correta.

Passo 6

Agora avalio numericamente os coeficientes em T. Já tenho
\cos\theta=\frac{-4}{\sqrt{29}},\qquad \sin\theta=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}.
Substituindo na identidade:
\mathbf{a}_z=\cos\theta\,\mathbf{a}_r-\sin\theta\,\mathbf{a}_\theta =-\frac{4}{\sqrt{29}}\,\mathbf{a}_r-\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}\,\mathbf{a}_\theta.
Isso dá \mathbf{a}_z escrito apenas em termos dos versores esféricos \mathbf{a}_r e \mathbf{a}_\theta no ponto T. (Não há componente em \mathbf{a}_\varphi.)

Resposta

\mathbf{a}_z=-\dfrac{4}{\sqrt{29}}\,\mathbf{a}_r-\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}\,\mathbf{a}_\theta
\mathbf{a}_r=\dfrac{2}{\sqrt{29}}\,\mathbf{a}_x+\dfrac{3}{\sqrt{29}}\,\mathbf{a}_y-\dfrac{4}{\sqrt{29}}\,\mathbf{a}_z

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