Descreva a interseção entre as seguintes superfícies:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies em coordenadas esféricas e pede para descrever a interseção entre elas. Os dados são:
-
. -
.
O que precisa ser descrito (explicitamente): que tipo de curva é a interseção, equações que a representam (em coordenadas esféricas e em coordenadas cartesianas), posição no espaço (centro, plano onde está, ou altura
) e raio da curva. Nada mais é pedido.
Passo 2
Antes de começar a resolver, vamos lembrar o que significam as variáveis esféricas e as fórmulas de conversão, porque isso é essencial para entender a interseção.
Definições em coordenadas esféricas:
-
é a distância do ponto à origem (ou seja, o comprimento do vetor posição). -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo positivo (medido a partir do eixo ; ). -
é o ângulo azimutal no plano (ângulo em torno do eixo ; ).
Conversão entre esféricas e cartesianas:
Também vale a relação
Passo 3
Interpretação da superfície
.
A equação
significa todos os pontos cuja distância à origem é 5, ou seja, uma esfera de raio 5 centrada na origem. Em coordenadas cartesianas isso é
Passo 4
Interpretação da superfície
.
A equação
constante (aqui
) representa uma superfície cônica cujo vértice é a origem e cujo eixo é o eixo
. Pontos nessa superfície fazem um ângulo de
com o eixo
positivo. Usando as fórmulas de conversão, dividindo
por
obtemos a equação do cone em termos cartesianas:
Para
isso é
(Como
, este é o nappo superior do cone, com
.)
Passo 5
A interseção entre a esfera
e o cone
.
Pegar ambos os dados em coordenadas esféricas é direto: se
e
então, para todo
,
Isto mostra que a interseção é uma circunferência (um círculo) obtida ao variar
.
Passo 6
Equações equivalentes e valores numéricos aproximados (úteis para visualizar ou desenhar na prova).
Da esfera temos
. Da condição
e
obtemos
Substituindo na esfera:
ou seja
Cálculos numéricos aproximados (usar vírgula como separador decimal):
Portanto, geometricamente: a interseção é uma circunferência de raio
, localizada no plano horizontal
, centrada no eixo
em
.
Passo 7
Forma paramétrica e dica prática para a prova.
Forma paramétrica (varrendo
):
Dica prática: quando ver
constante intersectando
constante, quase sempre aparecerá uma circunferência com raio
e altura
. Guarda essa fórmula — salva tempo na prova.
Resposta
Uma circunferência de raio
situada no plano
, centrada em
.
Equações equivalentes: e
.
Valores aproximados: raio e
.
Equações equivalentes:
Valores aproximados: raio