Descreva a interseção entre as seguintes superfícies:
(d) \rho=5, \quad \varphi=40^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies em coordenadas esféricas e pede para descrever a interseção entre elas. Os dados são:
  • \rho = 5.
  • \varphi = 40^\circ.
O que precisa ser descrito (explicitamente): que tipo de curva é a interseção, equações que a representam (em coordenadas esféricas e em coordenadas cartesianas), posição no espaço (centro, plano onde está, ou altura z) e raio da curva. Nada mais é pedido.

Passo 2

Antes de começar a resolver, vamos lembrar o que significam as variáveis esféricas e as fórmulas de conversão, porque isso é essencial para entender a interseção.
Definições em coordenadas esféricas:
  • \rho é a distância do ponto à origem (ou seja, o comprimento do vetor posição).
  • \varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z positivo (medido a partir do eixo z; 0\le\varphi\le\pi).
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy (ângulo em torno do eixo z; 0\le\theta<2\pi).
Conversão entre esféricas e cartesianas:
x = \rho\sin\varphi\cos\theta, \qquad y = \rho\sin\varphi\sin\theta, \qquad z = \rho\cos\varphi.
Também vale a relação
x^2+y^2+z^2=\rho^2.

Passo 3

Interpretação da superfície \rho=5.
A equação \rho=5 significa todos os pontos cuja distância à origem é 5, ou seja, uma esfera de raio 5 centrada na origem. Em coordenadas cartesianas isso é
x^2+y^2+z^2 = 25.

Passo 4

Interpretação da superfície \varphi=40^\circ.
A equação \varphi= constante (aqui \varphi=40^\circ) representa uma superfície cônica cujo vértice é a origem e cujo eixo é o eixo z. Pontos nessa superfície fazem um ângulo de 40^\circ com o eixo z positivo. Usando as fórmulas de conversão, dividindo z=\rho\cos\varphi por \sqrt{x^2+y^2}=\rho\sin\varphi obtemos a equação do cone em termos cartesianas:
z = \sqrt{x^2+y^2}\,\cot\varphi.
Para \varphi=40^\circ isso é
z = \sqrt{x^2+y^2}\,\cot 40^\circ.
(Como \varphi=40^\circ<90^\circ, este é o nappo superior do cone, com z\ge 0.)

Passo 5

A interseção entre a esfera \rho=5 e o cone \varphi=40^\circ.
Pegar ambos os dados em coordenadas esféricas é direto: se \rho=5 e \varphi=40^\circ então, para todo \theta\in[0,2\pi),
x = 5\sin 40^\circ\cos\theta, \qquad y = 5\sin 40^\circ\sin\theta, \qquad z = 5\cos 40^\circ.
Isto mostra que a interseção é uma circunferência (um círculo) obtida ao variar \theta.

Passo 6

Equações equivalentes e valores numéricos aproximados (úteis para visualizar ou desenhar na prova).
Da esfera temos x^2+y^2+z^2=25. Da condição \varphi=40^\circ e \rho=5 obtemos
z = 5\cos 40^\circ, \qquad \sqrt{x^2+y^2} = 5\sin 40^\circ.
Substituindo na esfera:
x^2+y^2 = 25 - \bigl(5\cos 40^\circ\bigr)^2 = 25\sin^2 40^\circ,
ou seja
x^2+y^2 = \bigl(5\sin 40^\circ\bigr)^2, \qquad z = 5\cos 40^\circ.
Cálculos numéricos aproximados (usar vírgula como separador decimal):
\cos 40^\circ \approx 0,766044\quad\Rightarrow\quad 5\cos 40^\circ \approx 3,8302,
\sin 40^\circ \approx 0,642788\quad\Rightarrow\quad 5\sin 40^\circ \approx 3,2139.
Portanto, geometricamente: a interseção é uma circunferência de raio \,5\sin 40^\circ\approx 3,2139, localizada no plano horizontal z=5\cos 40^\circ\approx 3,8302, centrada no eixo z em (0,0,5\cos 40^\circ).

Passo 7

Forma paramétrica e dica prática para a prova.
Forma paramétrica (varrendo \theta\in[0,2\pi)):
\bigl(x(\theta),y(\theta),z(\theta)\bigr) = \bigl(5\sin 40^\circ\cos\theta,\;5\sin 40^\circ\sin\theta,\;5\cos 40^\circ\bigr).
Dica prática: quando ver \rho= constante intersectando \varphi= constante, quase sempre aparecerá uma circunferência com raio \rho\sin\varphi e altura z=\rho\cos\varphi. Guarda essa fórmula — salva tempo na prova.

Resposta

Uma circunferência de raio 5\sin 40^\circ situada no plano z=5\cos 40^\circ, centrada em \bigl(0,0,5\cos 40^\circ\bigr).
Equações equivalentes: x^2+y^2=\bigl(5\sin 40^\circ\bigr)^2 e z=5\cos 40^\circ.
Valores aproximados: raio \approx 3,2139 e z\approx 3,8302.

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