Calcule a distância entre os seguintes pares de pontos:
(b) (3, \pi / 2,-1) \mathrm{e}(5,3 \pi / 2,5)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a distância entre os dois pontos no espaço tridimensional dados por (3,\pi/2,-1) e (5,3\pi/2,5).
Informações relevantes fornecidas:
  • Primeiro ponto: (x_1,y_1,z_1)=(3,\pi/2,-1).
  • Segundo ponto: (x_2,y_2,z_2)=(5,3\pi/2,5).
  • A tarefa é encontrar a distância entre esses dois pontos.

Passo 2

Fórmula a usar (lembrando passo a passo): a distância euclidiana entre dois pontos (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) em \mathbb{R}^3 é dada por
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.
Explicando a fórmula: cada termo (\text{coordenada}_2-\text{coordenada}_1) é a diferença ao longo de um eixo; elevando ao quadrado removemos sinais e somamos as contribuições de cada eixo; por fim a raiz quadrada volta a dar uma medida de comprimento.

Passo 3

Identificar as diferenças de coordenadas (pegando os valores fornecidos nos pontos):
\Delta x = x_2-x_1 = 5-3,
\Delta y = y_2-y_1 = \tfrac{3\pi}{2}-\tfrac{\pi}{2},
\Delta z = z_2-z_1 = 5-(-1).

Passo 4

Calcular cada diferença explicitamente:
\Delta x = 5-3=2,
\Delta y = \tfrac{3\pi}{2}-\tfrac{\pi}{2} = \pi \quad\text{(pois }3\pi/2-\pi/2=(3-1)\pi/2= \pi\text{)},
\Delta z = 5-(-1)=6.

Passo 5

Substituir na fórmula e calcular os quadrados:
d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}=\sqrt{2^2+\pi^2+6^2}.
Calcular os quadrados numéricos:
2^2=4,\qquad 6^2=36,
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d=\sqrt{4+\pi^2+36}=\sqrt{40+\pi^2}.
Isto é a forma exata da distância.

Passo 6

Se quiser uma aproximação numérica, usar \pi\approx 3{,}14159265 e calcular:
\pi^2\approx 9{,}8696044,
40+\pi^2\approx 49{,}8696044,
d\approx \sqrt{49{,}8696044}\approx 7{,}0618.
Portanto a distância é \sqrt{40+\pi^2}, aproximadamente 7{,}0618.

Resposta

\sqrt{40+\pi^2}
\approx 7{,}0618

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