16 De quantas maneiras uma pessoa pode comprar 5 sorvetes em uma sorveteria que vende 8 tipos de sorvete?

Passo 1

O enunciado pergunta de quantas maneiras uma pessoa pode comprar 5 sorvetes quando há 8 tipos disponíveis. Este é um problema de combinações com repetição, pois podemos escolher várias unidades do mesmo sabor e a ordem das escolhas não importa.

Passo 2

Modelamos a situação como distribuir 5 sorvetes (objetos idênticos) em 8 sabores (caixas distintas). Sejam x_i o número de sorvetes do sabor i, temos
x_1 + x_2 + \cdots + x_8 = 5,
com x_i \ge 0 inteiro. Pelo princípio de estrelas e barras, o número de soluções não-negativas dessa equação é
\binom{5 + 8 - 1}{5}
ou, equivalentemente,
\binom{5 + 8 - 1}{8 - 1}.

Passo 3

Calculamos a combinação
\binom{12}{5} = \frac{12!}{5! \,7!}.

Passo 4

Agora desenvolvemos o fatorial:
12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!
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\binom{12}{5} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}{5! \,7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5!}.
E temos 5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120. Então
\binom{12}{5} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{120}.

Passo 5

Simplificando passo a passo:
12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 = 95\,040
e
\frac{95\,040}{120} = 792.

Resposta

792

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