16 De quantas maneiras uma pessoa pode comprar 5 sorvetes em uma sorveteria que vende 8 tipos de sorvete?
Passo 1
O enunciado pergunta de quantas maneiras uma pessoa pode comprar 5 sorvetes quando há 8 tipos disponíveis. Este é um problema de combinações com repetição, pois podemos escolher várias unidades do mesmo sabor e a ordem das escolhas não importa.
Passo 2
Modelamos a situação como distribuir
sorvetes (objetos idênticos) em
sabores (caixas distintas). Sejam
o número de sorvetes do sabor
, temos
com
inteiro. Pelo princípio de estrelas e barras, o número de soluções não-negativas dessa equação é
ou, equivalentemente,
Passo 3
Calculamos a combinação
Passo 4
Agora desenvolvemos o fatorial:
logo
E temos
. Então
Passo 5
Simplificando passo a passo:
e
Resposta
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