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Sejam y = y(x) e x > 0. Resolva o PVI constituído pela equação diferencial
d y/d x - 1/x y = 2/x^2 y^4
e pela condição inicial y(1) = 1 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial que relaciona e , com uma condição inicial . O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar um método chamado equação de Bernoulli para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da nossa equação diferencial. A equação que temos é:
Ela está na forma padrão das equações de Bernoulli, que é:
Nesse caso, , e .

Passo 3

O próximo passo é simplificar essa equação usando uma substituição que transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear. Para isso, fazemos:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Vamos reescrever a equação diferencial original em termos de . A equação original é:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Lembrando que , podemos substituir:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial linear em :
Vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação por :
Isso pode ser reescrito como:

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração. Agora, isolamos :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Vamos inverter para encontrar :
Simplificando:
E então:

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante :
Elevando ambos os lados ao cubo:
Invertendo:
Então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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