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Sejam
e
. Resolva o PVI constituído pela equação diferencial
e pela condição inicial
.
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial que relaciona
e
, com uma condição inicial
. O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar um método chamado equação de Bernoulli para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da nossa equação diferencial. A equação que temos é:
Ela está na forma padrão das equações de Bernoulli, que é:
Nesse caso,
,
e
.
Passo 3
O próximo passo é simplificar essa equação usando uma substituição que transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear. Para isso, fazemos:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Vamos reescrever a equação diferencial original em termos de
. A equação original é:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Lembrando que
, podemos substituir:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial linear em
:
Vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração. Agora, isolamos
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Vamos inverter para encontrar
:
Simplificando:
E então:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Elevando ambos os lados ao cubo:
Invertendo:
Então:
Resposta
A solução da equação diferencial é: