Calcule, usando a definição, a derivada primeira das seguintes funções: g(x) = raiz(x^2 + 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada primeira da função usando a definição de derivada. Para isso, vamos usar a fórmula básica da derivada que envolve limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite, quando tende a zero, da razão:

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Para simplificar essa expressão, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar e dividir a fração pelo conjugado do numerador:

Passo 5

Fazendo isso, o numerador se torna a diferença de quadrados:
Simplificando:

Passo 6

Agora, nossa expressão fica:
Podemos cancelar o do numerador e denominador:

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando tende a zero:

Resposta

A derivada primeira da função é:

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