( ) 161. Na cura de pneus de borracha, o processo de vulcanização requer que a carcaça do pneu, originalmente a 295 K , seja aquecida, de modo que sua camada central atinja uma temperatura mínima de 410 K . Esse aquecimento é feito introduzindo vapor a 435 K em ambos os lados. Determine o tempo necessário, depois de introduzir o vapor, para que uma carcaça de pneu de 3 cm de espessura atinja a condição especificada para a temperatura central. Para borracha use \mathrm{k}=0,1485 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ; \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=2000 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \mathrm{K} ; \rho=1200 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e considere \mathrm{h}=150 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. (x \mathrm{x}_{1} é metade da espessura)

Passo 1

O problema é aquecimento transiente de uma carcaça de pneu tratada como uma lâmina plana de espessura total 0{,}03,m, inicialmente a T_i=295,K, cujas duas faces são submetidas a vapor a T_\infty=435,K com coeficiente de convecção h=150,kW/ m^{2} K. Queremos o tempo até que a temperatura no centro da lâmina chegue a T(0,t)=410,K. Este é um caso de condução unidimensional transiente numa lâmina com convecção simétrica em ambas as faces; a solução se expressa em termos do número de Fourier \mathrm{Fo} e de uma série de Fourier, mas aqui usaremos a aproximação do primeiro termo da série (válida para tempo moderado).

Passo 2

Como há simetria, consideramos meia lâmina de espessura
L = \frac{0{,}03}{2} = 0{,}015\text{ m}
com condição de convecção na face x=L e de isolamento (ou simetria) em x=0.

Passo 3

Calculamos o difusividade térmica \alpha e o número de Biot \Bi:
\alpha = \frac{k}{\rho\,c_p} = \frac{0{,}1485}{1200\times2000} \approx 6{,}19\times10^{-8}\\ \mathrm{m^2/s},
\Bi = \frac{h\,L}{k} = \frac{150\,000\times0{,}015}{0{,}1485} \approx 1{,}52\times10^{4}\gg1.
Como \Bi\gg1, a face x=L se mantém praticamente à temperatura do vapor ( T_\infty), e podemos aproximar a condição de superfície como temperatura constante.

Passo 4

Definimos a temperatura adimensional no centro ( x=0):
\theta = \frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i - T_\infty} = \frac{410-435}{295-435} = \frac{-25}{-140} \approx 0{,}1786.

Passo 5

Para superfície a temperatura constante usa-se a solução em série para x=0:
\theta(\Fo) = \frac{8}{\pi^2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} \exp\!\Big[-(2n+1)^2\pi^2\,\Fo/4\Big],
onde
\Fo = \frac{\alpha\,t}{L^2}.
Como o segundo termo da série decai muito mais rápido, usamos só n=0:
\theta \approx \frac{8}{\pi^2} \exp\!\Big[-\frac{\pi^2\,\alpha\,t}{4\,L^2}\Big].

Passo 6

Isolando t:
\exp\!\Big[-\frac{\pi^2\,\alpha\,t}{4\,L^2}\Big] = \frac{\pi^2}{8}\,\theta \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{4\,L^2}{\pi^2\,\alpha} \ln\!\Big(\frac{8}{\pi^2\,\theta}\Big).
Substituindo valores:
4\,L^2 = 4\times(0{,}015)^2 = 9{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2},
\pi^2\,\alpha \approx 9{,}8696\times6{,}19\times10^{-8} \approx 6{,}11\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s},
\ln\!\Big(\frac{8}{\pi^2\theta}\Big) = \ln\!\Big(\frac{8/9{,}8696}{0{,}1786}\Big) \approx \ln(4{,}54) \approx 1{,}513.
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t \approx \frac{9{,}0\times10^{-4}}{6{,}11\times10^{-7}} \times1{,}513 \approx 1474\\ \mathrm{s}\times1{,}513 \approx 2231\\ \mathrm{s} \approx 37{,}2\\ \mathrm{min}.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 37 minutos.

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