16.Em uma empresa de 140 funcionários,tem-se a distribuição de número de calçados apresentada pela tabela abaixo.Com base nos valores apresentados,responda:Qual o valor do percentil P85 para a distribuição dada?
Número de calçados \mathrm{f}_{\mathrm{i}}
33 \vdash 35 4
35 - 37 36
37 ト 39 29
39ト 41 43
41-43 22
43 卜 45 6

Passo 1

O enunciado pede o percentil P_{85} (o valor que deixa 85\% dos funcionários abaixo dele) para a distribuição de número de calçados de uma empresa com 140 funcionários. Informações dadas (peguei os valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{ll} \text{Classe} & f_i\\hline 33\\ \dash\\\ 35 & 4\\\\ 35\\ \dash\\\ 37 & 36\\\\ 37\\ \dash\\\ 39 & 29\\\\ 39\\ \dash\\\ 41 & 43\\\\ 41\\ \dash\\\ 43 & 22\\\\ 43\\ \dash\\\ 45 & 6 \end{array}
Total de observações: N=140.

Passo 2

Vou calcular as frequências acumuladas para localizar em que classe fica o P_{85}.
\begin{array}{ll} \text{Classe} & F_{\text{acum}}\\hline 33\\ \dash\\\ 35 & 4\\\\ 35\\ \dash\\\ 37 & 4+36=40\\\\ 37\\ \dash\\\ 39 & 40+29=69\\\\ 39\\ \dash\\\ 41 & 69+43=112\\\\ 41\\ \dash\\\ 43 & 112+22=134\\\\ 43\\ \dash\\\ 45 & 134+6=140 \end{array}
Portanto as acumulações são 4,\,40,\,69,\,112,\,134,\,140.

Passo 3

Calculo a posição do percentil:
\text{posição} = \frac{85}{100}\times N = 0,85\times 140 = 119.çã
Procuramos a classe que contém a observação de ordem 119. Observando as frequências acumuladas, 119 está entre 112 e 134, ou seja, pertence à classe 41\\ \dash\\\ 43.

Passo 4

Agora uso a fórmula do percentil para dados agrupados (método padrão por interpolação dentro da classe):
P_k = L + \left(\frac{\frac{k}{100}N - F_b}{f_c}\right)\times h,
onde:
  • P_k é o percentil pedido (aqui k=85);
  • L é o limite inferior real da classe que contém o percentil;
  • F_b é a frequência acumulada antes dessa classe;
  • f_c é a frequência da classe que contém o percentil;
  • h é a amplitude (largura) da classe;
  • N é o total de observações e k/100 é a fração correspondente ao percentil.
Explicando com calma: a ideia é interpolar linearmente dentro da classe, assumindo que os dados se distribuem uniformemente nessa classe. Cada quantidade na fração (\frac{k}{100}N - F_b)/f_c diz quanto, em proporção da classe, precisamos avançar desde o limite inferior real para alcançar a posição desejada; multiplicamos isso pela largura h para obter o deslocamento em unidades da variável.

Passo 5

Identifico os parâmetros para nossa classe 41\\ \dash\\\ 43:
  • F_b = 112 (frequência acumulada antes dessa classe, obtida no Passo 2);
  • f_c = 22 (frequência da classe 41\\ \dash\\\ 43, da tabela);
  • amplitude h = 43-41 = 2.
    Sobre L (limite inferior real): como as classes são contíguas no formato 33\dash35,\\\ 35\dash37,\dots, o limite real inferior costuma ser o limite inferior da classe menos 0,5 (correção do limite real quando os limites de classe são apresentados como números inteiros e as classes se tocam). Assim,
L = 41 - 0,5 = 40,5.

Passo 6

Agora aplico a fórmula passo a passo.
Já temos a posição \frac{85}{100}N = 119. A diferença entre a posição e a acumulada antes da classe é
119 - F_b = 119 - 112 = 7.
A fração dentro da classe é
\frac{119 - 112}{f_c} = \frac{7}{22}.
Multiplicando pela largura h=2 dá o deslocamento dentro da classe:
\left(\frac{7}{22}\right)\times 2 = \frac{14}{22} = \frac{7}{11}\approx 0,63636\ldots
Finalmente:
P_{85} = L + \text{deslocamento} = 40,5 + \frac{7}{11} = 40,5 + 0,63636\ldots = 41,13636\ldots

Passo 7

Arredondando de forma razoável (duas casas decimais), temos
P_{85}\approx 41,14.

Resposta

P_{85}\approx 41,14

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