17.112 e 17.113 Uma barra delgada
de comprimento
está em livre com uma velocidade
quando a corda
se torna subitamente esticada. Considerando que o impacto é perfeitamente plástico, determine a velocidade angular da barra e a velocidade de seu centro de massa imediatamente depois da corda ficar esticada.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a velocidade angular
da barra imediatamente depois que a corda fica esticada. - Determinar a velocidade do centro de massa
da barra imediatamente depois da corda ficar esticada.
Informações dadas (retiradas do enunciado e da figura):
- A barra é delgada, de comprimento
e massa (a massa aparece nas fórmulas e irá se cancelar em alguns passos). - A corda está presa na extremidade
da barra (extremidade esquerda). - Antes da corda ficar esticada, a barra estava livre e todo o sólido movia-se para baixo com velocidade
(magnitudes: para baixo). Não havia rotação inicial. - O impacto da corda ao ficar esticada é perfeitamente plástico (significa que a extremidade
passa a ficar instantaneamente presa/sem movimento relativo em relação à corda imediatamente após o choque).
Passo 2
Escolhemos quantidades que se conservam durante o impacto instantâneo e as relações cinemáticas impostas pela nova restrição (extremidade
presa). Vou explicar o princípio físico usado aqui de forma didática:
Durante o instante do choque a corda exerce um impulso sobre a barra aplicado no ponto
. Esse impulso pode alterar a quantidade de movimento linear da barra, mas o momento (momento angular) total da barra calculado em relação ao ponto
é conservado porque o impulso da corda aplicado em
tem momento nulo em relação a
(o braço do impulso em relação a
é zero). Em outras palavras, nenhuma força externa produz momento em torno de
durante o impacto, então o momento angular sobre
é constante no instante do choque.
Além disso, por ser impacto perfeitamente plástico a extremidade
fica instantaneamente presa, ou seja, a velocidade do ponto
imediatamente após o choque é zero. Essa é a condição cinemática que complementa a conservação do momento angular.
Passo 3
Calcular o momento angular inicial da barra em torno de
.
- A barra não gira inicialmente e o centro de massa (CM) desloca-se para baixo com velocidade
. - A posição do CM em relação a
tem magnitude (pois é a extremidade e o CM está no meio da barra). - O momento angular inicial em torno de
(produto vetorial ) tem magnitude
Aqui
é a massa da barra,
a velocidade para baixo, e
a distância perpendicular entre
e a linha de ação da velocidade do CM.
Passo 4
Expressar o momento angular final em torno de
.
Depois do choque a barra pode ter:
- rotação com velocidade angular
em torno do seu centro de massa, - translação do centro de massa com velocidade
.
A expressão geral para o momento angular de um corpo rígido em relação a um ponto
é
onde:
-
é o momento de inércia da barra delgada em relação ao centro de massa. Para uma barra fina de comprimento girando em seu plano, vale
- O segundo termo
é a contribuição do momento angular devido à translação do CM (produto ), com a distância perpendicular .
Passo 5
Impor a conservação do momento angular em torno de
e simplificar.
Igualando o momento angular inicial e final em torno de
:
Dividindo por
e por
(para simplificar):
Essa é a primeira equação relacionando
,
e
.
Passo 6
Impor a condição cinemática de que o ponto
fica instantaneamente parado (
) após o choque.
A velocidade do ponto
de um corpo rígido se obtém pela soma da velocidade do CM com a contribuição rotacional:
No nosso caso, considerando as magnitudes e escolhendo sinal para baixo positivo, a componente vertical da velocidade de
é
porque a rotação que produz velocidade vertical no ponto
tem sinal contrário ao deslocamento de
(ver raciocínio geométrico: para um
que faz o lado esquerdo subir quando o CM desce, a contribuição rotacional em
é para cima).
Como
fica preso temos
. Portanto
Passo 7
Resolver o sistema para
e
.
Substituindo
na equação obtida em Passo 5:
Somando os coeficientes:
Logo
Agora
dá
Passo 8
Comentário rápido e encorajador: ficou bonito — usando conservação do momento angular em torno do ponto de aplicação do impulso (que é a receita padrão nesses choques instantâneos) e a condição de que o ponto preso tem velocidade nula, chegamos às respostas. Note que energia não se conserva (impacto plástico), por isso não tentamos usar energia cinética.