17.112 e 17.113 Uma barra delgada A B de comprimento L está em livre com uma velocidade \mathbf{v}_{0} quando a corda A C se torna subitamente esticada. Considerando que o impacto é perfeitamente plástico, determine a velocidade angular da barra e a velocidade de seu centro de massa imediatamente depois da corda ficar esticada.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a velocidade angular \omega da barra imediatamente depois que a corda fica esticada.
  • Determinar a velocidade do centro de massa v_{\text{cm}} da barra imediatamente depois da corda ficar esticada.
Informações dadas (retiradas do enunciado e da figura):
  • A barra é delgada, de comprimento L e massa m (a massa m aparece nas fórmulas e irá se cancelar em alguns passos).
  • A corda está presa na extremidade A da barra (extremidade esquerda).
  • Antes da corda ficar esticada, a barra estava livre e todo o sólido movia-se para baixo com velocidade \mathbf{v}_0 (magnitudes: v_0 para baixo). Não havia rotação inicial.
  • O impacto da corda ao ficar esticada é perfeitamente plástico (significa que a extremidade A passa a ficar instantaneamente presa/sem movimento relativo em relação à corda imediatamente após o choque).

Passo 2

Escolhemos quantidades que se conservam durante o impacto instantâneo e as relações cinemáticas impostas pela nova restrição (extremidade A presa). Vou explicar o princípio físico usado aqui de forma didática:
Durante o instante do choque a corda exerce um impulso sobre a barra aplicado no ponto A. Esse impulso pode alterar a quantidade de movimento linear da barra, mas o momento (momento angular) total da barra calculado em relação ao ponto A é conservado porque o impulso da corda aplicado em A tem momento nulo em relação a A (o braço do impulso em relação a A é zero). Em outras palavras, nenhuma força externa produz momento em torno de A durante o impacto, então o momento angular sobre A é constante no instante do choque.
Além disso, por ser impacto perfeitamente plástico a extremidade A fica instantaneamente presa, ou seja, a velocidade do ponto A imediatamente após o choque é zero. Essa é a condição cinemática que complementa a conservação do momento angular.

Passo 3

Calcular o momento angular inicial da barra em torno de A.
  • A barra não gira inicialmente e o centro de massa (CM) desloca-se para baixo com velocidade v_0.
  • A posição do CM em relação a A tem magnitude r = L/2 (pois A é a extremidade e o CM está no meio da barra).
  • O momento angular inicial em torno de A (produto vetorial \mathbf{r}\times m\mathbf{v}_0) tem magnitude
L_A^{\text{(inicial)}} = m v_0 \frac{L}{2}.
Aqui m é a massa da barra, v_0 a velocidade para baixo, e L/2 a distância perpendicular entre A e a linha de ação da velocidade do CM.

Passo 4

Expressar o momento angular final em torno de A.
Depois do choque a barra pode ter:
  • rotação com velocidade angular \omega em torno do seu centro de massa,
  • translação do centro de massa com velocidade v_{\text{cm}}.
A expressão geral para o momento angular de um corpo rígido em relação a um ponto A é
L_A^{\text{(final)}} = I_{\text{cm}}\,\omega + m\left(\frac{L}{2}\right) v_{\text{cm}},
onde:
  • I_{\text{cm}} é o momento de inércia da barra delgada em relação ao centro de massa. Para uma barra fina de comprimento L girando em seu plano, vale
I_{\text{cm}}=\frac{1}{12}mL^{2}.
  • O segundo termo m\,(L/2)\,v_{\text{cm}} é a contribuição do momento angular devido à translação do CM (produto \mathbf{r}_{\text{CM}/A}\times m\mathbf{v}_{\text{cm}} ), com a distância perpendicular L/2.

Passo 5

Impor a conservação do momento angular em torno de A e simplificar.
Igualando o momento angular inicial e final em torno de A:
m v_0 \frac{L}{2} = \frac{1}{12}mL^{2}\,\omega + m\frac{L}{2}\,v_{\text{cm}}.
Dividindo por m e por L/2 (para simplificar):
v_0 = \frac{1}{6}L\,\omega + v_{\text{cm}}.
Essa é a primeira equação relacionando v_0, \omega e v_{\text{cm}}.

Passo 6

Impor a condição cinemática de que o ponto A fica instantaneamente parado ( v_A=0) após o choque.
A velocidade do ponto A de um corpo rígido se obtém pela soma da velocidade do CM com a contribuição rotacional:
\mathbf{v}_A = \mathbf{v}_{\text{cm}} + \boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}_{A/\text{cm}}.
No nosso caso, considerando as magnitudes e escolhendo sinal para baixo positivo, a componente vertical da velocidade de A é
v_A = v_{\text{cm}} - \omega\frac{L}{2},
porque a rotação que produz velocidade vertical no ponto A tem sinal contrário ao deslocamento de v_{\text{cm}} (ver raciocínio geométrico: para um \omega que faz o lado esquerdo subir quando o CM desce, a contribuição rotacional em A é para cima).
Como A fica preso temos v_A=0. Portanto
v_{\text{cm}} - \omega\frac{L}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad v_{\text{cm}} = \omega\frac{L}{2}.

Passo 7

Resolver o sistema para \omega e v_{\text{cm}}.
Substituindo v_{\text{cm}}=\omega\frac{L}{2} na equação obtida em Passo 5:
v_0 = \frac{1}{6}L\,\omega + \omega\frac{L}{2}.
Somando os coeficientes:
v_0 = \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{2}\right)L\omega = \frac{2}{3}L\omega.
Logo
\omega = \frac{3}{2}\,\frac{v_0}{L}.
Agora v_{\text{cm}}=\omega\frac{L}{2}
v_{\text{cm}} = \frac{3}{2}\frac{v_0}{L}\cdot\frac{L}{2} = \frac{3}{4}\,v_0.

Passo 8

Comentário rápido e encorajador: ficou bonito — usando conservação do momento angular em torno do ponto de aplicação do impulso (que é a receita padrão nesses choques instantâneos) e a condição de que o ponto preso tem velocidade nula, chegamos às respostas. Note que energia não se conserva (impacto plástico), por isso não tentamos usar energia cinética.

Resposta

\displaystyle \omega=\frac{3}{2}\,\frac{v_{0}}{L}
\displaystyle v_{\text{cm}}=\frac{3}{4}\,v_{0}

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