17. Aplicação em Engenharia Civil - Rampa de Acesso:
Uma rampa de acesso para cadeirantes será construída para ligar um ponto A no solo a um ponto B em uma plataforma. Em um sistema de coordenadas tridimensional, o ponto A está na origem ( 0,0,0 ) e o ponto B está em ( 8,6,1 ), com as medidas em metros.
(a) Determine a equação vetorial da reta que representa o eixo central da rampa.
(b) Qual é o comprimento da rampa?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Determinar a equação vetorial da reta que representa o eixo central da rampa que liga o ponto A ao ponto B.
(b) Calcular o comprimento da rampa (distância entre A e B).
Informações dadas:
A=(0,0,0),\quad B=(8,6,1),
as coordenadas estão em metros (\text{m}). Não há imagem adicional; todas as informações necessárias estão nos pares ordenados fornecidos.
Passo 2
Vamos obter o vetor direção da reta que passa por A e B. O vetor direção é obtido subtraindo as coordenadas de A das de B componente a componente. Se chamarmos esse vetor de \mathbf{d}, então
\mathbf{d} = \overrightarrow{AB} = B - A.
Explicando a operação: subtrair dois pontos significa subtrair cada coordenada correspondente (x com x, y com y, z com z).
Passo 3
Calculemos a subtração componente a componente:
\mathbf{d} = (8-0,\;6-0,\;1-0) = (8,6,1).
Portanto o vetor direção da reta é \mathbf{d}=(8,6,1). Esse vetor indica a direção e o sentido da reta que vai de A para B.
Passo 4
Agora formamos a equação vetorial da reta que passa por A com direção \mathbf{d}. A fórmula geral para a reta que passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) com vetor direção \mathbf{d}=(d_x,d_y,d_z) é
\mathbf{r}(t)=P_0+t\mathbf{d},
onde t é um parâmetro real. Aqui \mathbf{r}(t) é o vetor posição de um ponto genérico da reta quando variamos t. t=0 dá o ponto P_0; t=1 dá P_0+\mathbf{d}.
Passo 5
Aplique a fórmula ao nosso caso com P_0=A=(0,0,0) e \mathbf{d}=(8,6,1). Temos:
\mathbf{r}(t)=(0,0,0)+t(8,6,1)=t(8,6,1).
Escrevendo em coordenadas paramétricas:
x=8t,\quad y=6t,\quad z=1t.
Para representar apenas o segmento entre A e B usamos o parâmetro no intervalo 0\le t\le 1 (pois t=0 dá A e t=1 dá B). Para a reta inteira, t\in\mathbb{R}.
Passo 6
Agora calculamos o comprimento da rampa. O comprimento do segmento \overline{AB} é o módulo (norma) do vetor \overrightarrow{AB}=\mathbf{d}. A fórmula da norma de um vetor \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
Aqui v_x,v_y,v_z são as componentes do vetor; a raiz quadrada da soma dos quadrados dá o comprimento (distância euclidiana).
Arredondando com duas casas decimais (suficiente para medidas em metros):
\|\overline{AB}\|\approx 10,05\\ \text{m}.
Resposta
(a) \displaystyle \mathbf{r}(t)=t(8,6,1),\quad t\in\mathbb{R} (para o segmento entre A e B: 0\le t\le 1).
(b) Comprimento =\sqrt{101}\\ \text{m}\approx 10,05\\ \text{m}.