18. Aplicação em Topografia - Divisa de Terreno:
Um terreno plano tem o formato de um quadrilátero cujos vértices, em um sistema de coordenadas cartesianas, são
e
, com as unidades em metros. Uma cerca em linha reta será construída para dividir esse terreno em duas áreas de mesma área, partindo do vértice
e encontrando o lado
em um ponto
.
(a) Determine a equação da reta que contém o lado
.
(b) Determine as coordenadas do ponto
.
(a) Determine a equação da reta que contém o lado
(b) Determine as coordenadas do ponto
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas dos vértices do quadrilátero plano (unidades em metros):
Pede-se duas coisas:
- (a) determinar a equação da reta que contém o lado
; - (b) encontrar as coordenadas do ponto
sobre o segmento tal que a reta que liga a divide o terreno em duas áreas iguais.
Informações importantes a usar: o ponto
pertence ao segmento
, logo tem coordenadas do tipo
porque os pontos
e
têm
.
Passo 2
Vamos achar a equação da reta que passa por
e
. Primeiro calculamos a inclinação (coeficiente angular) usando a fórmula da inclinação entre dois pontos:
Tomando
como
e
como
(ou vice‑versa) obtemos
Uma inclinação
significa que a reta é horizontal, ou seja, tem equação do tipo
constante. Como ambos têm
, a equação da reta é
Passo 3
Agora precisamos dividir a área total do quadrilátero em duas áreas iguais. Primeiro calculamos a área total. Note que os lados
e
são paralelos e horizontais (
e
), portanto o quadrilátero é um trapézio com bases
e
e altura
.
Comprimentos das bases:
Altura do trapézio:
Fórmula da área do trapézio (explicando): a área de um trapézio é a média das bases vezes a altura, isto é
Aplicando:
Passo 4
Metade da área (a ser obtida por cada lado da cerca que parte de
) é
Passo 5
Agora escrevemos a área da porção formada pelos pontos
. Observe que essa figura também é um trapézio: base inferior
de comprimento
, base superior
de comprimento
. Como
está entre
e
(ou seja,
), temos
com comprimento
. A altura continua
. Logo a área desse trapézio é
Simplificando passo a passo:
Multiplicando:
Passo 6
Queremos que essa área seja metade da área total, isto é
Resolvendo para
:
Portanto o ponto
tem coordenadas
.
Passo 7
Checagem rápida de consistência:
está entre
e
, então
pertence ao segmento
. Podemos também verificar que a área restante
área total
área
é
, como desejado. Tudo faz sentido.