18. Aplicação em Topografia - Divisa de Terreno:

Um terreno plano tem o formato de um quadrilátero cujos vértices, em um sistema de coordenadas cartesianas, são A(0,0), B(50,0), C(70,40) e D(10,40), com as unidades em metros. Uma cerca em linha reta será construída para dividir esse terreno em duas áreas de mesma área, partindo do vértice A e encontrando o lado C D em um ponto P.
(a) Determine a equação da reta que contém o lado C D.
(b) Determine as coordenadas do ponto P.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vértices do quadrilátero plano (unidades em metros):
A(0,0),\quad B(50,0),\quad C(70,40),\quad D(10,40).
Pede-se duas coisas:
  1. (a) determinar a equação da reta que contém o lado C D;
  2. (b) encontrar as coordenadas do ponto P sobre o segmento C D tal que a reta que liga A a P divide o terreno em duas áreas iguais.
Informações importantes a usar: o ponto P pertence ao segmento C D, logo tem coordenadas do tipo (x,40) porque os pontos C e D têm y=40.

Passo 2

Vamos achar a equação da reta que passa por C(70,40) e D(10,40). Primeiro calculamos a inclinação (coeficiente angular) usando a fórmula da inclinação entre dois pontos:
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Tomando C como (x_1,y_1) e D como (x_2,y_2) (ou vice‑versa) obtemos
m=\frac{40-40}{70-10}=\frac{0}{60}=0.
Uma inclinação m=0 significa que a reta é horizontal, ou seja, tem equação do tipo y= constante. Como ambos têm y=40, a equação da reta é
y=40.

Passo 3

Agora precisamos dividir a área total do quadrilátero em duas áreas iguais. Primeiro calculamos a área total. Note que os lados A B e C D são paralelos e horizontais ( y=0 e y=40), portanto o quadrilátero é um trapézio com bases A B e C D e altura 40.
Comprimentos das bases:
\text{base inferior } AB = 50-0=50,
\text{base superior } CD = 70-10=60.
Altura do trapézio:
h=40.
Fórmula da área do trapézio (explicando): a área de um trapézio é a média das bases vezes a altura, isto é
\text{Área}=\frac{\text{base}_1+\text{base}_2}{2}\cdot h.Á
Aplicando:
\text{Área total}=\frac{50+60}{2}\cdot 40=\frac{110}{2}\cdot 40=55\cdot 40=2200\\ \text{m}^2.Á

Passo 4

Metade da área (a ser obtida por cada lado da cerca que parte de A) é
\frac{2200}{2}=1100\\ \text{m}^2.

Passo 5

Agora escrevemos a área da porção formada pelos pontos A\to B\to C\to P\to A. Observe que essa figura também é um trapézio: base inferior A B de comprimento 50, base superior C P de comprimento |70-x|. Como P está entre D e C (ou seja, 10\le x\le 70), temos C P com comprimento 70-x. A altura continua 40. Logo a área desse trapézio é
\text{Área}_{A B C P}=\frac{50+(70-x)}{2}\cdot 40.Á
Simplificando passo a passo:
\frac{50+(70-x)}{2}\cdot 40=\frac{120-x}{2}\cdot 40.
Multiplicando:
\frac{120-x}{2}\cdot 40=20(120-x)=2400-20x.

Passo 6

Queremos que essa área seja metade da área total, isto é
2400-20x=1100.
Resolvendo para x:
2400-1100=20x,
1300=20x,
x=\frac{1300}{20}=65.
Portanto o ponto P tem coordenadas (65,40).

Passo 7

Checagem rápida de consistência: x=65 está entre 10 e 70, então P pertence ao segmento C D. Podemos também verificar que a área restante = área total - área A B C P é 2200-1100=1100, como desejado. Tudo faz sentido.

Resposta

y=40\n
P(65,40)

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