5.17 O campo de velocidade dado por V = Axi-Ayj representa o fluxo em um canto retangular. Avalie a circulação ao redor do quadrado unitário com cantos em ( x, y ) = (1,1), (1,2), (2,2) e (2,1) para o valor de A=0.3 s’
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade
e pede para avaliar a circulação ao redor do quadrado com vértices em
,
,
e
para o valor
(o enunciado menciona unidade
; vou usar simplesmente
como valor numérico).\n
Informações relevantes:
Informações relevantes:
A pergunta é: qual é a circulação
ao longo do contorno fechado
desse quadrado (orientado positivamente, isto é, no sentido anti-horário)?
Passo 2
O que é circulação e como calculamos? Vou explicar devagar, como se estivéssemos na prova.\n
- A circulação de um campo de velocidade
ao longo de uma curva fechada é a integral de linha:
Aqui
. Em palavras: somamos ao longo do contorno a componente tangencial da velocidade multiplicada pelo deslocamento.\n
- Método que vou usar: farei a integral diretamente, parametrizando cada um dos quatro lados do quadrado. Esse é o método mais elementar (é o que normalmente se pede numa prova sem calculadora), e é rápido aqui porque cada lado tem equação simples (reta com
ou constante). Depois faço um comentário rápido com uma verificação teórica (teorema de Green / existência de potencial) para reforçar o raciocínio.
Passo 3
Identificamos os quatro lados do quadrado e orientamos no sentido anti-horário (positivo). Vou seguir a sequência de vértices
.\n
Lado 1: é
. Aqui
constante e
varia de
até
. Assim
e
é positivo. A integral sobre
é
Lado 1:
Calculando,
Passo 4
Lado 2:
é
. Aqui
constante e
varia de
até
. Então
e
positivo. A integral é
Passo 5
Lado 3:
é
. Aqui
constante e
varia de
até
(note que agora
é negativo porque vamos para baixo). A integral é
Calculando (atenção aos limites invertidos),
(Observe que esse resultado é o oposto do que obtivemos no Lado 1, como era de se esperar pela simetria.)
Passo 6
Lado 4:
é
. Aqui
constante e
varia de
até
(dx negativo). A integral é
(Esse é o oposto do Lado 2.)
Passo 7
Somando as quatro contribuições:
Portanto a circulação é zero, independentemente do valor numérico de
.
Passo 8
Verificação teórica (curtinha, para fixar a ideia): uma maneira mais curta é notar que o rotacional bidimensional (componente
) do campo é
Pelo teorema de Green, a circulação ao redor de uma curva fechada é a integral dupla do rotacional sobre a região interior; como o rotacional é zero, a circulação é zero. Outra observação: o campo é gradiente de
, logo é conservativo e tem integral de linha nula em qualquer laço fechado.
Resposta
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