5.17 O campo de velocidade dado por V = Axi-Ayj representa o fluxo em um canto retangular. Avalie a circulação ao redor do quadrado unitário com cantos em ( x, y ) = (1,1), (1,2), (2,2) e (2,1) para o valor de A=0.3 s’

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade
\mathbf{V} = A x\,\mathbf{i} - A y\,\mathbf{j}
e pede para avaliar a circulação ao redor do quadrado com vértices em (1,1), (1,2), (2,2) e (2,1) para o valor A=0,3 (o enunciado menciona unidade s'; vou usar simplesmente A=0,3 como valor numérico).\n
Informações relevantes:
u(x,y)=A x,\qquad v(x,y)=-A y.
A pergunta é: qual é a circulação \displaystyle \oint_C \mathbf{V}\cdot d\mathbf{r} ao longo do contorno fechado C desse quadrado (orientado positivamente, isto é, no sentido anti-horário)?

Passo 2

O que é circulação e como calculamos? Vou explicar devagar, como se estivéssemos na prova.\n
  • A circulação de um campo de velocidade \mathbf{V}=(u,v) ao longo de uma curva fechada C é a integral de linha:
\Gamma=\oint_C \mathbf{V}\cdot d\mathbf{r}=\oint_C \big(u\,dx + v\,dy\big).
Aqui d\mathbf{r}=dx\,\mathbf{i}+dy\,\mathbf{j}. Em palavras: somamos ao longo do contorno a componente tangencial da velocidade multiplicada pelo deslocamento.\n
  • Método que vou usar: farei a integral diretamente, parametrizando cada um dos quatro lados do quadrado. Esse é o método mais elementar (é o que normalmente se pede numa prova sem calculadora), e é rápido aqui porque cada lado tem equação simples (reta com x ou y constante). Depois faço um comentário rápido com uma verificação teórica (teorema de Green / existência de potencial) para reforçar o raciocínio.

Passo 3

Identificamos os quatro lados do quadrado e orientamos no sentido anti-horário (positivo). Vou seguir a sequência de vértices (1,1)\to(1,2)\to(2,2)\to(2,1)\to(1,1).\n
Lado 1: C_1 é (1,1)\to(1,2). Aqui x=1 constante e y varia de 1 até 2. Assim dx=0 e dy é positivo. A integral sobre C_1 é
\int_{C_1} u\,dx+v\,dy = \int_{y=1}^{2} \big( A x\cdot 0 + (-A y)\,dy\big) = \int_{1}^{2} (-A y)\,dy.
Calculando,
\int_{1}^{2} (-A y)\,dy = -A\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{2} = -A\cdot\frac{4-1}{2} = -\frac{3A}{2}.

Passo 4

Lado 2: C_2 é (1,2)\to(2,2). Aqui y=2 constante e x varia de 1 até 2. Então dy=0 e dx positivo. A integral é
\int_{C_2} u\,dx+v\,dy = \int_{x=1}^{2} A x\,dx = A\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2} = A\cdot\frac{4-1}{2} = \frac{3A}{2}.

Passo 5

Lado 3: C_3 é (2,2)\to(2,1). Aqui x=2 constante e y varia de 2 até 1 (note que agora dy é negativo porque vamos para baixo). A integral é
\int_{C_3} u\,dx+v\,dy = \int_{y=2}^{1} \big( A\cdot 2\cdot 0 + (-A y)\,dy\big) = \int_{2}^{1} (-A y)\,dy.
Calculando (atenção aos limites invertidos),
\int_{2}^{1} (-A y)\,dy = -A\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{2}^{1} = -A\left(\frac{1}{2}-\frac{4}{2}\right) = -A\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{3A}{2}.
(Observe que esse resultado é o oposto do que obtivemos no Lado 1, como era de se esperar pela simetria.)

Passo 6

Lado 4: C_4 é (2,1)\to(1,1). Aqui y=1 constante e x varia de 2 até 1 (dx negativo). A integral é
\int_{C_4} u\,dx+v\,dy = \int_{x=2}^{1} A x\,dx = A\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{2}^{1} = A\left(\frac{1}{2}-\frac{4}{2}\right) = -\frac{3A}{2}.
(Esse é o oposto do Lado 2.)

Passo 7

Somando as quatro contribuições:
\Gamma = \sum_{i=1}^{4}\int_{C_i} = \left(-\frac{3A}{2}\right) + \left(\frac{3A}{2}\right) + \left(\frac{3A}{2}\right) + \left(-\frac{3A}{2}\right) = 0.
Portanto a circulação é zero, independentemente do valor numérico de A.

Passo 8

Verificação teórica (curtinha, para fixar a ideia): uma maneira mais curta é notar que o rotacional bidimensional (componente k) do campo é
\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial(-A y)}{\partial x} - \frac{\partial(A x)}{\partial y} = 0 - 0 = 0.
Pelo teorema de Green, a circulação ao redor de uma curva fechada é a integral dupla do rotacional sobre a região interior; como o rotacional é zero, a circulação é zero. Outra observação: o campo é gradiente de \varphi(x,y)=\tfrac{A}{2}x^{2}-\tfrac{A}{2}y^{2}, logo é conservativo e tem integral de linha nula em qualquer laço fechado.

Resposta

0

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