E6.17 Determine se os sistemas com as seguintes equações características são estáveis ou instáveis:
(b) s^{4}-6 s^{3}-s^{2}-17 s-6=0 \mathrm{e}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o sistema com equação característica
s^{4}-6 s^{3}-s^{2}-17 s-6=0
é estável ou instável.
Informações dadas (peguei diretamente do enunciado):
  • Polinômio característico: \;s^{4}-6 s^{3}-s^{2}-17 s-6.
  • Coeficientes (ordenados de s^{4} a s^{0}): a_{4}=1,\quad a_{3}=-6,\quad a_{2}=-1,\quad a_{1}=-17,\quad a_{0}=-6.
O que é pedido: informar se todas as raízes têm parte real negativa (sistema estável) ou se existe pelo menos uma raiz com parte real positiva (sistema instável).

Passo 2

Vou usar o critério de Routh–Hurwitz para responder. O que é esse critério e por que usar?
  • O critério de Routh diz que o número de raízes do polinômio com parte real positiva (no semiplano direito) é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh. Portanto, se não houver mudanças de sinal (todas as entradas da primeira coluna com o mesmo sinal, tipicamente todas positivas quando a_4>0), então não há raízes com parte real positiva e o sistema é estável.
  • É uma maneira prática de deduzir estabilidade sem calcular explicitamente as raízes (útil na prova quando não dá tempo de achar raízes).
Vou construir a tabela de Routh passo a passo e contar as mudanças de sinal na primeira coluna.

Passo 3

Montar as duas primeiras linhas da tabela com os coeficientes do polinômio (linha do grau \,4 e do grau \,3):
\begin{array}{c|ccc} s^{4} & 1 & -1 & -6\\[4pt] s^{3} & -6 & -17 & 0\\[4pt] \end{array}
Explicação: na linha de s^{4} colocam-se os coeficientes de ordem par a_{4},a_{2},a_{0}. Na linha de s^{3} colocam-se os coeficientes de ordem ímpar a_{3},a_{1},0 (o zero é colocado se faltar termo).]

Passo 4

Calcular a linha correspondente a s^{2}. A fórmula para o primeiro elemento dessa linha (chamei de b_{1}) é:
b_{1}=\frac{(-6)\cdot(-1)-1\cdot(-17)}{-6}.
Faço as contas passo a passo:
(-6)\cdot(-1)=6,\qquad 1\cdot(-17)=-17,
6-(-17)=6+17=23,
b_{1}=\frac{23}{-6}=-\frac{23}{6}.
O segundo elemento da linha s^{2} (chamei de b_{2}) é
b_{2}=\frac{(-6)\cdot(-6)-1\cdot 0}{-6}=\frac{36}{-6}=-6.
Portanto a linha s^{2} fica
\begin{array}{c|cc} s^{2} & -\dfrac{23}{6} & -6 \end{array}

Passo 5

Agora calculo a linha s^{1}. Use a mesma fórmula, agora combinando as linhas s^{3} e s^{2}.
Primeiro elemento da linha s^{1} (chamei de c_{1}):
c_{1}=\frac{\bigl(-\dfrac{23}{6}\bigr)\cdot(-17)-(-6)\cdot(-6)}{-\dfrac{23}{6}}.
Calculo passo a passo:
\bigl(-\dfrac{23}{6}\bigr)\cdot(-17)=\dfrac{391}{6}, \qquad (-6)\cdot(-6)=36=\dfrac{216}{6},
\dfrac{391}{6}-\dfrac{216}{6}=\dfrac{175}{6},
c_{1}=\frac{\tfrac{175}{6}}{-\tfrac{23}{6}}=\frac{175}{6}\cdot\frac{6}{-23}=-\frac{175}{23}.
Segundo elemento da linha s^{1} (chamei de c_{2}):
c_{2}=\frac{\bigl(-\dfrac{23}{6}\bigr)\cdot(-6)-(-6)\cdot 0}{-\dfrac{23}{6}}=\frac{23}{-\tfrac{23}{6}}=-6.
Portanto a linha s^{1} é
\begin{array}{c|cc} s^{1} & -\dfrac{175}{23} & -6 \end{array}

Passo 6

A última linha s^{0} contém o termo constante do polinômio (quando não há casos especiais), então:
\begin{array}{c|c} s^{0} & -6 \end{array}
Agora a tabela de Routh (somente primeira coluna, que nos interessa) é, em ordem do topo para baixo:
\begin{array}{c|c} s^{4} & 1\\[4pt] s^{3} & -6\\[4pt] s^{2} & -\dfrac{23}{6}\\[4pt] s^{1} & -\dfrac{175}{23}\\[4pt] s^{0} & -6 \end{array}
Analisando os sinais da primeira coluna:
  • 1 é positivo,
  • -6 é negativo,
  • -\dfrac{23}{6} é negativo,
  • -\dfrac{175}{23} é negativo,
  • -6 é negativo.
Contagem de mudanças de sinal na primeira coluna:
  • De + para -: uma mudança.
  • Depois não há mais mudanças ( - para - várias vezes).
Portanto há exatamente uma mudança de sinal na primeira coluna.]

Passo 7

Conclusão pelo critério de Routh–Hurwitz: o número de raízes com parte real positiva é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna. Aqui ocorreu 1 mudança de sinal, logo existe exatamente uma raiz com parte real positiva. Logo o sistema NÃO é estável.
Interpretação simples: basta uma raiz no semiplano direito para o sistema ser instável. Força na prova — mesmo sem calcular raízes, já sabemos que é instável porque apareceu uma mudança de sinal.

Resposta

Instável.

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