E6.17 Determine se os sistemas com as seguintes equações características são estáveis ou instáveis:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o sistema com equação característica
é estável ou instável.
Informações dadas (peguei diretamente do enunciado):
- Polinômio característico:
. - Coeficientes (ordenados de
a ):
O que é pedido: informar se todas as raízes têm parte real negativa (sistema estável) ou se existe pelo menos uma raiz com parte real positiva (sistema instável).
Passo 2
Vou usar o critério de Routh–Hurwitz para responder. O que é esse critério e por que usar?
- O critério de Routh diz que o número de raízes do polinômio com parte real positiva (no semiplano direito) é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh. Portanto, se não houver mudanças de sinal (todas as entradas da primeira coluna com o mesmo sinal, tipicamente todas positivas quando
), então não há raízes com parte real positiva e o sistema é estável. - É uma maneira prática de deduzir estabilidade sem calcular explicitamente as raízes (útil na prova quando não dá tempo de achar raízes).
Vou construir a tabela de Routh passo a passo e contar as mudanças de sinal na primeira coluna.
Passo 3
Montar as duas primeiras linhas da tabela com os coeficientes do polinômio (linha do grau
e do grau
):
Explicação: na linha de
colocam-se os coeficientes de ordem par
. Na linha de
colocam-se os coeficientes de ordem ímpar
(o zero é colocado se faltar termo).]
Passo 4
Calcular a linha correspondente a
. A fórmula para o primeiro elemento dessa linha (chamei de
) é:
Faço as contas passo a passo:
O segundo elemento da linha
(chamei de
) é
Portanto a linha
fica
Passo 5
Agora calculo a linha
. Use a mesma fórmula, agora combinando as linhas
e
.
Primeiro elemento da linha
(chamei de
):
Calculo passo a passo:
Segundo elemento da linha
(chamei de
):
Portanto a linha
é
Passo 6
A última linha
contém o termo constante do polinômio (quando não há casos especiais), então:
Agora a tabela de Routh (somente primeira coluna, que nos interessa) é, em ordem do topo para baixo:
Analisando os sinais da primeira coluna:
-
é positivo, -
é negativo, -
é negativo, -
é negativo, -
é negativo.
Contagem de mudanças de sinal na primeira coluna:
- De
para : uma mudança. - Depois não há mais mudanças (
para várias vezes).
Portanto há exatamente uma mudança de sinal na primeira coluna.]
Passo 7
Conclusão pelo critério de Routh–Hurwitz: o número de raízes com parte real positiva é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna. Aqui ocorreu 1 mudança de sinal, logo existe exatamente uma raiz com parte real positiva. Logo o sistema NÃO é estável.
Interpretação simples: basta uma raiz no semiplano direito para o sistema ser instável. Força na prova — mesmo sem calcular raízes, já sabemos que é instável porque apareceu uma mudança de sinal.
Resposta
Instável.