E6.9 Um sistema possui uma equação característica
s^{3}+2 s^{2}+(K+1) s+6=0 .
Determine a faixa de valores de K para um sistema estável.
Resposta: K>2

Passo 1

O enunciado dá a equação característica
s^{3}+2 s^{2}+(K+1) s+6=0.
O que se pede: determinar a faixa de valores de K para que o sistema seja estável (isto é, todos os pólos — raízes da equação característica — tenham parte real negativa).
Informações extraídas do enunciado:
  • coeficiente de s^{3} é 1;
  • coeficiente de s^{2} é 2;
  • coeficiente de s^{1} é K+1;
  • termo independente é 6.

Passo 2

Breve explicação do critério que usaremos (passo-a-passo): para verificar estabilidade sem calcular explicitamente as raízes, usa-se o critério de Routh–Hurwitz. A ideia prática que será aplicada: montar o array de Routh para o polinômio e verificar se todos os elementos da primeira coluna são positivos. Se todos forem positivos, todas as raízes têm parte real negativa (sistema estável). Se ocorrer uma mudança de sinal na primeira coluna, o número de mudanças indica quantas raízes estão no semiplano direito.

Passo 3

Construção do array de Routh para um polinômio cúbico. Para um polinômio genérico
s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0,
o array de Routh (linhas em ordem decrescente de s) tem a forma
\begin{array}{c|cc} s^{3} & 1 & a_{1} \\\ s^{2} & a_{2} & a_{0} \\\ s^{1} & b_{1} & 0 \\\ s^{0} & a_{0} & \end{array}
onde o elemento b_{1} é calculado por
b_{1}=\frac{a_{2}\,a_{1}-1\cdot a_{0}}{a_{2}}=\frac{a_{2}a_{1}-a_{0}}{a_{2}}.
Condição de estabilidade (para cubo): todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos, ou seja:
1>0,\quad a_{2}>0,\quad b_{1}>0,\quad a_{0}>0.
Vou aplicar isso ao polinômio dado.

Passo 4

Identificar os coeficientes no polinômio dado:
a_{2}=2,\qquad a_{1}=K+1,\qquad a_{0}=6.
Montando o array de Routh com esses valores:
\begin{array}{c|cc} s^{3} & 1 & K+1 \\\ s^{2} & 2 & 6 \\\ s^{1} & b_{1} & 0 \\\ s^{0} & 6 & \end{array}
Calcula-se b_{1} usando a fórmula:
b_{1}=\frac{a_{2}a_{1}-a_{0}}{a_{2}}=\frac{2\,(K+1)-6}{2}.
Agora simplifico passo a passo:
2\,(K+1)-6=2K+2-6=2K-4,
portanto
b_{1}=\frac{2K-4}{2}=K-2.

Passo 5

Impondo as condições de estabilidade (todos os elementos da primeira coluna positivos):
  1. 1>0 — sempre verdadeiro.
  2. a_{2}=2>0 — já satisfeito.
  3. a_{0}=6>0 — já satisfeito.
  4. b_{1}=K-2>0 — isto dá a desigualdade
K-2>0\quad\Rightarrow\quad K>2.
Portanto, a única restrição sobre K para garantir que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos é K>2.
Observação rápida sobre o caso limite: se K=2 então b_{1}=0, o que indica marginalidade (uma linha do array zero ou zero na primeira coluna requer análise adicional e geralmente corresponde a pólos no eixo imaginário ou multiplicidade). Para estabilidade estrita, exige-se K>2.

Resposta

K>2

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