E6.17 Determine se os sistemas com as seguintes equações características são estáveis ou instáveis:
(a)
,
(a)
Passo 1
O enunciado fornece a equação característica
e pede para determinar se o sistema associado é estável ou instável.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Polinômio característico:
. - Coeficientes: coeficiente de
é , coeficiente de é , coeficiente de é , coeficiente independente é . - Pergunta: o sistema é estável (todas as raízes com parte real negativa) ou instável (existe pelo menos uma raiz com parte real positiva)?
Passo 2
Explicação didática do método que vamos usar (Routh–Hurwitz) — passo a passo e sem pular etapas.
Ideia geral:
- Para saber estabilidade de um sistema linear com equação característica polinomial em
, não é preciso calcular todas as raízes. O critério de Routh permite descobrir quantas raízes têm parte real positiva simplesmente construindo uma tabela (a tabela de Routh) a partir dos coeficientes do polinômio. - Para um polinômio de grau
,
a tabela de Routh tem 4 linhas (uma para cada potência
). A primeira coluna da tabela — quando examinada de cima para baixo — indica quantas mudanças de sinal ocorrem; cada mudança de sinal na primeira coluna corresponde a uma raiz com parte real positiva. Se não houver mudanças de sinal, todas as raízes têm parte real negativa (sistema estável).
- Fórmula usada para calcular o elemento da linha
(no caso cúbico) — denotando os coeficientes como acima — é
que vem da construção algébrica da tabela de Routh. Aqui
é o coeficiente de
,
de
e
o termo constante.
Passo 3
Aplicando ao polinômio dado. Primeiro coloque os coeficientes conforme o formato padrão
. No nosso caso:
Construção da tabela de Routh (apresentando somente as entradas necessárias):
- Linha
: primeiros coeficientes alternados: (coef. de ), (coef. de ). - Linha
: próximos coeficientes alternados: (coef. de ), (coef. de ). - A linha
terá um elemento calculado por
Calcule passo a passo:
- Linha
: o último elemento é simplesmente .
Assim, a primeira coluna da tabela de Routh é, em ordem:
Passo 4
Interpretação dos sinais na primeira coluna:
- Liste os sinais na sequência:
, , , — ou seja, . - Conte as mudanças de sinal quando percorre de cima para baixo:
-
para : 1 mudança. -
para : 1 mudança (agora total 2). -
para : sem mudança.
-
- Total de mudanças de sinal =
.
Pelo critério de Routh–Hurwitz, o número de raízes com parte real positiva é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna. Portanto há exatamente
raízes com parte real positiva.
Passo 5
Conclusões importantes e verificação de casos especiais:
- Não houve elemento zero na primeira coluna em nenhum passo, logo não precisamos usar procedimentos especiais (como substituir por pequenos
ou construir polinômio auxiliar). Também isso indica que não há raízes exatamente sobre o eixo imaginário (caso que exigiria atenção). - Como existem
raízes com parte real positiva, o sistema tem polos no semiplano direito: isso significa que o sistema é instável.
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (prático e motivador):
- Para polinômios de grau baixo (3 ou 4) faça a tabela de Routh rápida como fizemos: organize coeficientes e calcule o(s) elemento(s) das linhas intermediárias com a fórmula mostrada.
- Sempre olhe apenas para a primeira coluna e conte mudanças de sinal — é isso que dá a resposta.
- Se aparecer um zero na primeira coluna, não entre em pânico: use
ou o polinômio auxiliar conforme o procedimento padrão do critério de Routh. - Vai dar certo — você já aprendeu o passo a passo. Respira e aplica na prova do mesmo jeito.
Resposta
Instável.