2.17 I Uma linha uniforme de cargas de 16 \mathrm{nC} / \mathrm{m} está posicionada ao longo da reta definida por y=-2, z=5. Se \epsilon=\epsilon_{0}:(a) Calcule \mathbf{E} em P(1,2,3);
(b) Calcule \mathbf{E} no ponto do plano z=0 no qual a direção e o sentido de \mathbf{E} são dados por (1 / 3) \mathbf{a}_{y}-(2 / 3) \mathbf{a}_{z}.

Passo 1

O enunciado fornece uma linha uniforme de cargas de densidade linear \lambda=16\\ \mathrm{nC/m} posicionada ao longo da reta definida por y=-2,\\ z=5. Foi dado \epsilon=\epsilon_{0}. As perguntas são:
  • (a) Calcular \mathbf{E} em P(1,2,3).
  • (b) Calcular \mathbf{E} no ponto do plano z=0 no qual a direção e o sentido de \mathbf{E} são dados por \tfrac{1}{3}\mathbf{a}_y-\tfrac{2}{3}\mathbf{a}_z.
Informações relevantes listadas:
  • A linha de carga é paralela ao eixo x; seus pontos têm forma (x,-2,5) para todo x.
  • \lambda=16\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}.
  • \epsilon_0=8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} (constante de permissividade do vácuo).
  • Para um ponto qualquer, o campo elétrico produzido por uma linha infinita de carga tem direção radial no plano perpendicular à linha e módulo que depende apenas da distância perpendicular r até a linha.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (e por que): para uma linha infinita e uniformemente carregada, o campo elétrico tem módulo
E=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r},
onde:
  • \lambda é a densidade linear de carga (C/m),
  • \epsilon_0 é a permissividade do vácuo (F/m),
  • r é a distância perpendicular (em metros) do ponto até a reta da linha de carga.
    A direção de \mathbf{E} é radial, ou seja, do centro da linha para o ponto (se \lambda>0 aponta para fora). Para obter o vetor usamos
\mathbf{E}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}\,\hat{\mathbf{r}},
em que \hat{\mathbf{r}} é o versor (vetor unitário) que aponta do ponto da linha mais próximo até o ponto onde queremos \mathbf{E}. Vou aplicar essa fórmula passo a passo ao ponto pedido.

Passo 3

Parte (a): localizar o vetor perpendicular do ponto mais próximo da linha até P(1,2,3).
  • Um ponto na linha com o mesmo x de P é (1,-2,5). Tomamos esse ponto porque a reta é paralela a x e o segmento que liga (1,-2,5) a P é perpendicular à reta.
  • Vetor que vai da linha até P:
\mathbf{r}_\perp = P - (1,-2,5) = (0,\;2-(-2),\;3-5) = (0,\;4,\;-2).
  • Observe que não há componente em \mathbf{a}_x (faz sentido: campo está no plano y\!-\!z).
  • Módulo desse vetor:
r = \|\mathbf{r}_\perp\| = \sqrt{4^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.

Passo 4

Continuando (a): calcular o versor \hat{\mathbf{r}} e o módulo de \mathbf{E}.
  • Versor:
\hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}_\perp}{r}=\frac{4}{2\sqrt{5}}\mathbf{a}_y+\frac{-2}{2\sqrt{5}}\mathbf{a}_z=\frac{2}{\sqrt{5}}\mathbf{a}_y-\frac{1}{\sqrt{5}}\mathbf{a}_z.
  • Módulo de \mathbf{E}:
E=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}=\frac{16\times10^{-9}}{2\pi\cdot 8,854\times10^{-12}\cdot (2\sqrt{5})}.
Agora avalio numericamente passo a passo:
2\pi\epsilon_0 \approx 2\pi\cdot 8,854\times10^{-12}\approx 5,563\times10^{-11},
2\pi\epsilon_0\cdot r \approx 5,563\times10^{-11}\cdot 4,4721\approx 2,488\times10^{-10},
E\approx\frac{1,6\times10^{-8}}{2,488\times10^{-10}}\approx 64,3\\ \mathrm{N/C}.

Passo 5

Concluir (a): multiplicar o módulo pelo versor para obter \mathbf{E}.
\mathbf{E}(1,2,3)=64{,}3\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\mathbf{a}_y-\frac{1}{\sqrt{5}}\mathbf{a}_z\right).
Calculando componentes numéricas (com \sqrt{5}\approx 2{,}2361):
\mathbf{E}(1,2,3)\approx 57{,}5\,\mathbf{a}_y-28{,}7\,\mathbf{a}_z\quad(\mathrm{N/C}).

Passo 6

Parte (b): determinar o ponto no plano z=0 cuja direção e sentido de \mathbf{E} são dados por \tfrac{1}{3}\mathbf{a}_y-\tfrac{2}{3}\mathbf{a}_z.
  • A direção real do campo no plano y\!-\!z é paralela ao vetor que vai da linha (ponto mais próximo) até o ponto: para um ponto genérico (x,y,0) o vetor perpendicular é
\mathbf{r}_\perp=(y-(-2))\mathbf{a}_y+(0-5)\mathbf{a}_z=(y+2)\mathbf{a}_y-5\mathbf{a}_z.
  • Queremos que (y+2,-5) seja paralelo a (1,-2) (a parte em y,z do vetor dado). Portanto impomos a razão:
\frac{y+2}{1}=\frac{-5}{-2}=2{,}5.
  • Logo y+2=2{,}5 e y=0{,}5. O valor de x é livre (qualquer x produz o mesmo vetor \mathbf{r}_\perp em y\!-\!z), então os pontos procurados são (x,\tfrac{1}{2},0) para qualquer x\in\mathbb{R}.

Passo 7

Calcular o campo em um desses pontos (por exemplo, em (0,\tfrac{1}{2},0); o resultado não depende de x).
  • Vetor perpendicular até (0,\tfrac{1}{2},0):
\mathbf{r}_\perp=(0{,}5+2)\mathbf{a}_y-5\mathbf{a}_z=2{,}5\,\mathbf{a}_y-5\,\mathbf{a}_z.
  • Módulo:
r=\sqrt{2{,}5^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{6{,}25+25}=\sqrt{31{,}25}\approx 5{,}5902.
  • Módulo do campo:
E=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}\approx\frac{1{,}6\times10^{-8}}{5,563\times10^{-11}\cdot 5{,}5902}\approx 51{,}44\\ \mathrm{N/C}.
  • Versor na direção pedida (normalizando \tfrac{1}{3}\mathbf{a}_y-\tfrac{2}{3}\mathbf{a}_z): primeiro observe que \tfrac{1}{3}\mathbf{a}_y-\tfrac{2}{3}\mathbf{a}_z é paralelo a (1,-2), o versor é
\hat{\mathbf{u}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\mathbf{a}_y-\frac{2}{\sqrt{5}}\mathbf{a}_z.
  • Então
\mathbf{E}=(51{,}44)\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\mathbf{a}_y-\frac{2}{\sqrt{5}}\mathbf{a}_z\right).
Calculando componentes numéricas:
\mathbf{E}\approx 23{,}0\,\mathbf{a}_y-46{,}0\,\mathbf{a}_z\quad(\mathrm{N/C}).

Resposta

(a) \mathbf{E}(1,2,3)\approx 57{,}5\,\mathbf{a}_y-28{,}7\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{N/C}
(b) Os pontos do plano z=0 que têm a direção dada são (x,\tfrac{1}{2},0) para qualquer x. Em qualquer um desses pontos
\mathbf{E}\approx 23{,}0\,\mathbf{a}_y-46{,}0\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{N/C}

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