2.17 I Uma linha uniforme de cargas de
está posicionada ao longo da reta definida por
. Se
Calcule
em
;
(b) Calcule
no ponto do plano
no qual a direção e o sentido de
são dados por
.
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado fornece uma linha uniforme de cargas de densidade linear
posicionada ao longo da reta definida por
. Foi dado
. As perguntas são:
- (a) Calcular
em . - (b) Calcular
no ponto do plano no qual a direção e o sentido de são dados por .
Informações relevantes listadas:
- A linha de carga é paralela ao eixo
; seus pontos têm forma para todo . -
. -
(constante de permissividade do vácuo). - Para um ponto qualquer, o campo elétrico produzido por uma linha infinita de carga tem direção radial no plano perpendicular à linha e módulo que depende apenas da distância perpendicular
até a linha.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (e por que): para uma linha infinita e uniformemente carregada, o campo elétrico tem módulo
onde:
-
é a densidade linear de carga (C/m), -
é a permissividade do vácuo (F/m), -
é a distância perpendicular (em metros) do ponto até a reta da linha de carga.
A direção deé radial, ou seja, do centro da linha para o ponto (se aponta para fora). Para obter o vetor usamos
em que
é o versor (vetor unitário) que aponta do ponto da linha mais próximo até o ponto onde queremos
. Vou aplicar essa fórmula passo a passo ao ponto pedido.
Passo 3
Parte (a): localizar o vetor perpendicular do ponto mais próximo da linha até
.
- Um ponto na linha com o mesmo
de é . Tomamos esse ponto porque a reta é paralela a e o segmento que liga a é perpendicular à reta. - Vetor que vai da linha até
:
- Observe que não há componente em
(faz sentido: campo está no plano ). - Módulo desse vetor:
Passo 4
Continuando (a): calcular o versor
e o módulo de
.
- Versor:
- Módulo de
:
Agora avalio numericamente passo a passo:
Passo 5
Concluir (a): multiplicar o módulo pelo versor para obter
.
Calculando componentes numéricas (com
):
Passo 6
Parte (b): determinar o ponto no plano
cuja direção e sentido de
são dados por
.
- A direção real do campo no plano
é paralela ao vetor que vai da linha (ponto mais próximo) até o ponto: para um ponto genérico o vetor perpendicular é
- Queremos que
seja paralelo a (a parte em do vetor dado). Portanto impomos a razão:
- Logo
e . O valor de é livre (qualquer produz o mesmo vetor em ), então os pontos procurados são para qualquer .
Passo 7
Calcular o campo em um desses pontos (por exemplo, em
; o resultado não depende de
).
- Vetor perpendicular até
:
- Módulo:
- Módulo do campo:
- Versor na direção pedida (normalizando
): primeiro observe que é paralelo a , o versor é
- Então
Calculando componentes numéricas:
Resposta
(a)
(b) Os pontos do plano
que têm a direção dada são
para qualquer
. Em qualquer um desses pontos