Um volume esférico que tem raio de
m contém uma densidade volumétrica uniforme de carga
. (a) Qual é a carga total interna ao volume esférico? (b) Considere agora que uma grande região contenha uma dessas pequenas esferas em cada vértice de uma estrutura cúbica de 3 mm de lado, e que não existam cargas entre as esferas. Qual é a densidade volumétrica de carga média nessa grande região?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e perguntas:
- Raio da esfera pequena:
. - Densidade volumétrica de carga uniforme dentro da esfera:
. - (a) Pergunta: qual é a carga total interna ao volume esférico?
- (b) Agora considere uma grande região formada por células cúbicas de lado
, em cada vértice de cada célula há uma dessas pequenas esferas, e não há cargas entre as esferas. Pergunta: qual é a densidade volumétrica de carga média nessa grande região?
Conversões úteis que vou usar (já listadas aqui como informação dada / necessária):
e
Passo 2
Entender a fórmula do volume de uma esfera e como usá-la: o volume
de uma esfera de raio
é dado por
Aqui
é o volume em metros cúbicos e
é o raio em metros. A razão dessa fórmula é geométrica (não preciso provar agora), mas o que importa na prova é saber aplicar: substituímos
e calculamos
.
Calcule
com
:
Agora o volume:
Se quiser um valor numérico aproximado, calcule
:
Passo 3
Como a densidade volumétrica de carga
é uniforme, a carga total
dentro da esfera é simplesmente
Isto vem da definição de densidade volumétrica:
. Para
constante, integra-se
.
Substituindo os valores:
Forma simbólica exata:
Forma simbólica exata:
Substituição numérica:
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 4
Agora a parte (b): precisamos da densidade volumétrica média de carga numa grande região que contém uma esfera em cada vértice de uma estrutura cúbica de lado
.
Primeiro, é útil entender como contar a carga por célula cúbica (um “unit cell” da rede cúbica). Cada célula cúbica tem 8 vértices e em cada vértice está o centro de uma pequena esfera. No entanto, cada vértice é compartilhado por 8 células adjacentes (um vértice pertence a 8 cubos que se tocam nesse vértice). Logo, a fração de cada esfera que realmente “pertence” a uma célula particular é
. Portanto a carga total atribuída a uma célula cúbica (ou seja, a carga dentro daquela célula quando consideramos a rede inteira) é
Intuição rápida: 8 vértices × 1/8 de cada esfera = 1 esfera por célula, em média.
A densidade volumétrica média
na grande região (em média por unidade de volume) é então a carga por célula dividida pelo volume da célula:
Passo 5
Calcule numericamente
. Primeiro
com
:
Agora
Faça a divisão:
Arredondando com três algarismos significativos:
Resposta
(a)
(b)
(b)