Um volume esférico que tem raio de 2 \mu m contém uma densidade volumétrica uniforme de carga 10^{5} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}. (a) Qual é a carga total interna ao volume esférico? (b) Considere agora que uma grande região contenha uma dessas pequenas esferas em cada vértice de uma estrutura cúbica de 3 mm de lado, e que não existam cargas entre as esferas. Qual é a densidade volumétrica de carga média nessa grande região?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e perguntas:
  • Raio da esfera pequena: \displaystyle r=2\\ \mu\text{m}.
  • Densidade volumétrica de carga uniforme dentro da esfera: \displaystyle \rho_v=10^{5}\\ \mathrm{C/m^{3}}.
  • (a) Pergunta: qual é a carga total interna ao volume esférico?
  • (b) Agora considere uma grande região formada por células cúbicas de lado 3\\ \mathrm{mm}, em cada vértice de cada célula há uma dessas pequenas esferas, e não há cargas entre as esferas. Pergunta: qual é a densidade volumétrica de carga média nessa grande região?
Conversões úteis que vou usar (já listadas aqui como informação dada / necessária):
\displaystyle 2\\ \mu\text{m}=2\times 10^{-6}\\ \mathrm{m} e \displaystyle 3\\ \mathrm{mm}=3\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Entender a fórmula do volume de uma esfera e como usá-la: o volume V de uma esfera de raio r é dado por
V=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
Aqui V é o volume em metros cúbicos e r é o raio em metros. A razão dessa fórmula é geométrica (não preciso provar agora), mas o que importa na prova é saber aplicar: substituímos r e calculamos r^{3}.
Calcule r^{3} com r=2\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}:
r^{3}=(2\times 10^{-6})^{3}=2^{3}\times(10^{-6})^{3}=8\times 10^{-18}\\ \mathrm{m^{3}}.
Agora o volume:
V=\frac{4}{3}\pi \cdot 8\times 10^{-18}=\frac{32}{3}\pi\times 10^{-18}\\ \mathrm{m^{3}}.
Se quiser um valor numérico aproximado, calcule \pi\approx 3,14159:
V\approx \frac{32}{3}\times 3,14159\times 10^{-18}\approx 3,351032\times 10^{-17}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 3

Como a densidade volumétrica de carga \rho_v é uniforme, a carga total Q dentro da esfera é simplesmente
Q=\rho_v \cdot V.
Isto vem da definição de densidade volumétrica: \rho_v=\dfrac{dQ}{dV}. Para \rho_v constante, integra-se \,Q=\int \rho_v\,dV=\rho_v V.
Substituindo os valores:
Forma simbólica exata:
Q=\rho_v\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}.
Substituição numérica:
Q=10^{5}\times 3,351032\times 10^{-17}\\ \mathrm{C}=3,351032\times 10^{-12}\\ \mathrm{C}.
Arredondando com três algarismos significativos:
Q\approx 3,35\times 10^{-12}\\ \mathrm{C}.

Passo 4

Agora a parte (b): precisamos da densidade volumétrica média de carga numa grande região que contém uma esfera em cada vértice de uma estrutura cúbica de lado a=3\\ \mathrm{mm}.
Primeiro, é útil entender como contar a carga por célula cúbica (um “unit cell” da rede cúbica). Cada célula cúbica tem 8 vértices e em cada vértice está o centro de uma pequena esfera. No entanto, cada vértice é compartilhado por 8 células adjacentes (um vértice pertence a 8 cubos que se tocam nesse vértice). Logo, a fração de cada esfera que realmente “pertence” a uma célula particular é \dfrac{1}{8}. Portanto a carga total atribuída a uma célula cúbica (ou seja, a carga dentro daquela célula quando consideramos a rede inteira) é
Q_{\text{por célula}}=8\times \left(\frac{1}{8}Q\right)=Q.é
Intuição rápida: 8 vértices × 1/8 de cada esfera = 1 esfera por célula, em média.
A densidade volumétrica média \bar{\rho} na grande região (em média por unidade de volume) é então a carga por célula dividida pelo volume da célula:
\bar{\rho}=\frac{Q_{\text{por célula}}}{a^{3}}=\frac{Q}{a^{3}}.é

Passo 5

Calcule numericamente \bar{\rho}. Primeiro a^{3} com a=3\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}:
a^{3}=(3\times 10^{-3})^{3}=27\times 10^{-9}=2,7\times 10^{-8}\\ \mathrm{m^{3}}.
Agora
\bar{\rho}=\frac{3,351032\times 10^{-12}}{2,7\times 10^{-8}}\\ \mathrm{C/m^{3}}.
Faça a divisão:
\bar{\rho}\approx 1,24112\times 10^{-4}\\ \mathrm{C/m^{3}}.
Arredondando com três algarismos significativos:
\bar{\rho}\approx 1,24\times 10^{-4}\\ \mathrm{C/m^{3}}.

Resposta

(a) 3,35\times 10^{-12}\\ \mathrm{C}
(b) 1,24\times 10^{-4}\\ \mathrm{C/m^{3}}

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