Questão 09
Uma bateria de 12 V totalmente carregada armazena inicialmente 4320 J de energia. Ela é ligada a um circuito que demanda uma corrente constante, e a tensão nos terminais da bateria decai linearmente com o tempo segundo a expressão
(em volts, com
em segundos). Após
, a bateria encontra-se completamente descarregada. Sabendo que a energia dissipada no resistor corresponde à energia inicial armazenada pela bateria, determine o valor da corrente elétrica que circula no circuito.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa específica:
- Dado: a bateria, totalmente carregada, armazena inicialmente
. - Dado: a tensão nos terminais da bateria varia com o tempo segundo
(em volts, com em segundos). - Dado: após
a bateria está completamente descarregada (ou seja, o processo considerado vai de até ). - Dado: toda a energia inicial da bateria é dissipada no resistor (ou seja, a energia dissipada pelo resistor ao longo dos
é igual a ). - Pedido: determinar o valor da corrente elétrica constante
que circula no circuito.
Passo 2
Conceito básico necessário (explicado com calma): potência elétrica instantânea.
A potência elétrica entregue por uma fonte a um circuito num instante é o produto da tensão instantânea pela corrente naquele instante. Se a corrente é constante, isso vira
A potência elétrica entregue por uma fonte a um circuito num instante
Aqui:
-
é a potência em watts ( ), -
é a tensão em volts ( ), -
é a corrente em ampères ( ).
Lembrete de unidades:
. Energia é potência integrada no tempo:
.
Passo 3
Relação energia-potência e uso do fato de
ser constante.
A energia total dissipada pelo resistor no intervalo de tempo de até
é
A energia total dissipada pelo resistor no intervalo de tempo de
Como
é constante, posso tirá-lo da integral:
Pelo enunciado, essa energia
é igual a
. Portanto
Passo 4
Calcule a integral
passo a passo.
Primeiro escrevo a integral:
A primitiva de
em relação a
é
. A primitiva de
é
. Logo a primitiva total é
Avalio entre
e
:
Calcule os termos separadamente:
Portanto a integral vale
Unidade: volt·segundo, que ao multiplicar por ampère dá joules.
Passo 5
Volto à equação da energia para achar
:
Isolando
:
Simplifico a fração. Dividindo numerador e denominador por
(um divisor comum):
Dividindo por
:
Portanto, a corrente é
. Em decimal isso vale aproximadamente
Passo 6
Verificação rápida de consistência: multiplicando
pela integral
obtém-se cerca de
, que é exatamente a energia inicial fornecida. As unidades conferem:
. Boa!