Questão 09

Uma bateria de 12 V totalmente carregada armazena inicialmente 4320 J de energia. Ela é ligada a um circuito que demanda uma corrente constante, e a tensão nos terminais da bateria decai linearmente com o tempo segundo a expressão V(t)=12-0,01 t (em volts, com t em segundos). Após 360 s, a bateria encontra-se completamente descarregada. Sabendo que a energia dissipada no resistor corresponde à energia inicial armazenada pela bateria, determine o valor da corrente elétrica que circula no circuito.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa específica:
  • Dado: a bateria, totalmente carregada, armazena inicialmente \,4320\\ \text{J}.
  • Dado: a tensão nos terminais da bateria varia com o tempo segundo \;V(t)=12-0{,}01\,t (em volts, com t em segundos).
  • Dado: após 360\\ \text{s} a bateria está completamente descarregada (ou seja, o processo considerado vai de t=0 até t=360).
  • Dado: toda a energia inicial da bateria é dissipada no resistor (ou seja, a energia dissipada pelo resistor ao longo dos 360\\ \text{s} é igual a 4320\\ \text{J}).
  • Pedido: determinar o valor da corrente elétrica constante I que circula no circuito.

Passo 2

Conceito básico necessário (explicado com calma): potência elétrica instantânea.
A potência elétrica entregue por uma fonte a um circuito num instante t é o produto da tensão instantânea pela corrente naquele instante. Se a corrente é constante, isso vira
P(t)=V(t)\,I.
Aqui:
  • P(t) é a potência em watts ( \text{W}),
  • V(t) é a tensão em volts ( \text{V}),
  • I é a corrente em ampères ( \text{A}).
Lembrete de unidades: 1\\ \text{W}=1\\ \text{V}\cdot 1\\ \text{A}. Energia é potência integrada no tempo: \text{J}=\text{W}\cdot\text{s}.

Passo 3

Relação energia-potência e uso do fato de I ser constante.
A energia total dissipada pelo resistor no intervalo de tempo de t=0 até t=360 é
E=\int_{0}^{360} P(t)\,dt=\int_{0}^{360} V(t)\,I\,dt.
Como I é constante, posso tirá-lo da integral:
E=I\int_{0}^{360} V(t)\,dt.
Pelo enunciado, essa energia E é igual a \,4320\\ \text{J}. Portanto
4320 = I\int_{0}^{360} \bigl(12-0{,}01t\bigr)\,dt.

Passo 4

Calcule a integral \displaystyle \int_{0}^{360} \bigl(12-0{,}01t\bigr)\,dt passo a passo.
Primeiro escrevo a integral:
\int_{0}^{360} \bigl(12-0{,}01t\bigr)\,dt.
A primitiva de 12 em relação a t é 12t. A primitiva de -0{,}01t é -0{,}01\cdot\frac{t^{2}}{2}=-0{,}005t^{2}. Logo a primitiva total é
12t - 0{,}005t^{2}.
Avalio entre 0 e 360:
\left[12t-0{,}005t^{2}\right]_{0}^{360}=12\cdot 360 - 0{,}005\cdot 360^{2}.
Calcule os termos separadamente:
12\cdot 360 = 4320,
360^{2}=129600,\quad 0{,}005\cdot 129600 = 648.
Portanto a integral vale
4320 - 648 = 3672.
Unidade: volt·segundo, que ao multiplicar por ampère dá joules.

Passo 5

Volto à equação da energia para achar I:
4320 = I \cdot 3672.
Isolando I:
I = \frac{4320}{3672}.
Simplifico a fração. Dividindo numerador e denominador por 24 (um divisor comum):
\frac{4320}{3672}=\frac{180}{153}.
Dividindo por 3:
\frac{180}{153}=\frac{60}{51}=\frac{20}{17}.
Portanto, a corrente é \displaystyle I=\frac{20}{17}\\ \text{A}. Em decimal isso vale aproximadamente
I\approx 1{,}1764706\\ \text{A}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência: multiplicando \displaystyle I\approx 1{,}17647\\ \text{A} pela integral 3672\\ \text{(V·s)} obtém-se cerca de 4320\\ \text{J}, que é exatamente a energia inicial fornecida. As unidades conferem: \text{A}\cdot(\text{V}\cdot\text{s})=\text{V}\cdot\text{A}\cdot\text{s}=\text{W}\cdot\text{s}=\text{J}. Boa!

Resposta

\displaystyle I=\frac{20}{17}\\ \text{A}\approx 1{,}17647\\ \text{A}

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