(17.) Sejam X \subset \mathbb{R} e x \in \mathbb{R}. Prove que são equivalentes:
(a) para todo conjunto aberto A tal que x \in A, temos que X \cap A \neq \varnothing;
(b) para todo intervalo aberto I tal que x \in I, temos X \cap I \neq \varnothing;
(c) para todo \varepsilon>0, existe y \in X tal que |x-y|<\varepsilon;
(d) x \in \bar{X}.

Passo 1

O enunciado dá um conjunto X\subset\mathbb{R} e um ponto x\in\mathbb{R}, e pede para provar que as quatro afirmações abaixo são equivalentes:
(a) para todo conjunto aberto A tal que x\in A, temos que X\cap A\neq\varnothing;
(b) para todo intervalo aberto I tal que x\in I, temos X\cap I\neq\varnothing;
(c) para todo \varepsilon>0, existe y\in X tal que |x-y|<\varepsilon;
(d) x\in\bar{X}.
Informações relevantes dadas:
  • X\subset\mathbb{R}.
  • x\in\mathbb{R}.
  • As quatro sentenças (a)–(d) devem ser mostradas como equivalentes (ou seja, cada uma implica as outras).

Passo 2

Mostro que (a)\Rightarrow(b).
Motivação curta: todo intervalo aberto é um conjunto aberto; portanto, se toda vizinhança aberta de x encontra X, isso vale em particular para intervalos abertos que contenham x.
Prova detalhada: suponha que (a) seja verdadeira. Seja I um intervalo aberto com x\in I. Por definição, I é um conjunto aberto. Aplicando (a) ao conjunto aberto I, obtemos X\cap I\neq\varnothing. Logo (a)\Rightarrow(b).

Passo 3

Mostro que (b)\Rightarrow\text{(c)}.
Motivação curta: uma bola-padrão (intervalo (x-\varepsilon,x+\varepsilon)) é um intervalo aberto que contém x. Usando (b) com esse intervalo obtemos um ponto de X dentro da distância \varepsilon de x.
Prova detalhada: suponha (b). Seja \varepsilon>0. Considere o intervalo aberto
I=(x-\varepsilon,x+\varepsilon).
Claramente I é um intervalo aberto contendo x. Então, por (b), X\cap I\neq\varnothing. Assim existe y\in X\cap I, isto é y\in X e y\in(x-\varepsilon,x+\varepsilon). Isso significa exatamente |x-y|<\varepsilon. Portanto (b)\Rightarrow\text{(c)}.

Passo 4

Mostro que \text{(c)}\Rightarrow(b).
Motivação curta: dado qualquer intervalo aberto I contendo x, há um pequeno intervalo centrado em x que fica inteiramente dentro de I. Aplicando (c) ao pequeno intervalo, obtemos um ponto de X em I.
Prova detalhada: suponha (c). Seja I um intervalo aberto tal que x\in I. Escrevemos I na forma padrão:
  • se I=(a,b) com a<x<b, defina \varepsilon=\min\{x-a,b-x\}>0. Então (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq(a,b)=I.
  • se I=(a,\infty) com a<x, escolha \varepsilon=x-a>0; então (x-\varepsilon,x+\varepsilon)=(a,x+\varepsilon)\subset I.
  • se I=(-\infty,b) com x<b, escolha \varepsilon=b-x>0; então (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset I.
  • se I=\mathbb{R} a inclusão é óbvia.
Em todos os casos existe \varepsilon>0 tal que (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq I. Aplicando (c) a esse valor de \varepsilon obtemos um y\in X com |x-y|<\varepsilon, logo y\in(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq I. Assim X\cap I\neq\varnothing. Concluímos \text{(c)}\Rightarrow(b).
Portanto (b) e \text{(c)} são equivalentes.

Passo 5

Mostro que (a)\Leftrightarrow(d).
Primeiro, explico o significado de \bar{X} usado aqui. Uma definição padrão da aderência (fecho) \bar{X} é
\bar{X}=\bigcap\{C\subset\mathbb{R}\mid C\text{ é fechado e }X\subset C\},é
isto é, \bar{X} é a interseção de todos os conjuntos fechados que contêm X. Outra caracterização equivalente, muito usada, é: \bar{X} é o conjunto de todos os pontos x\in\mathbb{R} tais que toda vizinhança aberta de x encontra X. Vou usar essa equivalência e prová-la brevemente.
Prova da equivalência das definições (rápida e clara): denote por S o conjunto de pontos com a propriedade “(a)”, isto é
S=\{x\in\mathbb{R}\mid \forall\text{ aberto }A,\; x\in A\Rightarrow A\cap X\neq\varnothing\}.
Quero ver que S coincide com \bar{X} definido como interseção de fechados que contêm X.
  • Mostrar S\subseteq\bar{X}: seja x\in S. Seja C qualquer conjunto fechado com X\subset C. Se por absurdo x\notin C, então x pertence ao conjunto aberto \mathbb{R}\setminus C. Mas (\mathbb{R}\setminus C)\cap X=\varnothing porque X\subset C. Isso contraria a propriedade de x\in S. Logo x\in C para todo fechado C contendo X. Portanto x pertence à interseção desses fechados, i.e. x\in\bar{X}. Assim S\subseteq\bar{X}.
  • Mostrar \bar{X}\subseteq S: suponha x\in\bar{X} e por absurdo que exista um aberto A com x\in A e A\cap X=\varnothing. Então A é aberto e contém x, logo seu complemento \mathbb{R}\setminus A é fechado, contém X (porque A\cap X=\varnothing) e, no entanto, não contém x (pois x\in A). Isso contradiz x\in\bar{X}, que exige que x esteja em todo fechado que contém X. Portanto não existe tal aberto A, e assim x\in S. Logo \bar{X}\subseteq S.
Com isso já provamos que a condição (a) (que é a definição de S) é equivalente a x\in\bar{X}. Ou seja (a)\Leftrightarrow(d).

Passo 6

Juntando os resultados: (a)\Leftrightarrow(d) pela passo 5; (a)\Rightarrow(b) pela passo 2; e (b)\Leftrightarrow\text{(c)} pelas passos 3 e 4. Assim todas as quatro afirmações são equivalentes:
(a)\iff(b)\iff\text{(c)}\iff(d).
Comentário de incentivo: pronto — mostramos cuidadosamente cada implicação e também a equivalência entre a descrição topológica (vizinhanças abertas) e a definição do fecho \bar{X}. Se algo ficou confuso em alguma etapa, fala que eu explico esse pedaço com mais exemplos!

Resposta

(a)\Leftrightarrow(b)\Leftrightarrow\text{(c)}\Leftrightarrow(d)

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