(17.) Sejam
e
. Prove que são equivalentes:
(a) para todo conjunto aberto
tal que
, temos que
;
(b) para todo intervalo aberto
tal que
, temos
;
(c) para todo
, existe
tal que
;
(d)
.
(a) para todo conjunto aberto
(b) para todo intervalo aberto
(c) para todo
(d)
Passo 1
O enunciado dá um conjunto
e um ponto
, e pede para provar que as quatro afirmações abaixo são equivalentes:
(a) para todo conjunto aberto tal que
, temos que
;
(b) para todo intervalo aberto tal que
, temos
;
(c) para todo , existe
tal que
;
(d) .
(a) para todo conjunto aberto
(b) para todo intervalo aberto
(c) para todo
(d)
Informações relevantes dadas:
-
. -
. - As quatro sentenças (a)–(d) devem ser mostradas como equivalentes (ou seja, cada uma implica as outras).
Passo 2
Mostro que
.
Motivação curta: todo intervalo aberto é um conjunto aberto; portanto, se toda vizinhança aberta de
encontra
, isso vale em particular para intervalos abertos que contenham
.
Prova detalhada: suponha que (a) seja verdadeira. Seja
um intervalo aberto com
. Por definição,
é um conjunto aberto. Aplicando (a) ao conjunto aberto
, obtemos
. Logo
.
Passo 3
Mostro que
.
Motivação curta: uma bola-padrão (intervalo
) é um intervalo aberto que contém
. Usando (b) com esse intervalo obtemos um ponto de
dentro da distância
de
.
Prova detalhada: suponha (b). Seja
. Considere o intervalo aberto
Claramente
é um intervalo aberto contendo
. Então, por (b),
. Assim existe
, isto é
e
. Isso significa exatamente
. Portanto
.
Passo 4
Mostro que
.
Motivação curta: dado qualquer intervalo aberto
contendo
, há um pequeno intervalo centrado em
que fica inteiramente dentro de
. Aplicando (c) ao pequeno intervalo, obtemos um ponto de
em
.
Prova detalhada: suponha (c). Seja
um intervalo aberto tal que
. Escrevemos
na forma padrão:
- se
com , defina . Então . - se
com , escolha ; então . - se
com , escolha ; então . - se
a inclusão é óbvia.
Em todos os casos existe
tal que
. Aplicando (c) a esse valor de
obtemos um
com
, logo
. Assim
. Concluímos
.
Portanto
e
são equivalentes.
Passo 5
Mostro que
.
Primeiro, explico o significado de
usado aqui. Uma definição padrão da aderência (fecho)
é
isto é,
é a interseção de todos os conjuntos fechados que contêm
. Outra caracterização equivalente, muito usada, é:
é o conjunto de todos os pontos
tais que toda vizinhança aberta de
encontra
. Vou usar essa equivalência e prová-la brevemente.
Prova da equivalência das definições (rápida e clara): denote por
o conjunto de pontos com a propriedade “(a)”, isto é
Quero ver que
coincide com
definido como interseção de fechados que contêm
.
-
Mostrar
: seja . Seja qualquer conjunto fechado com . Se por absurdo , então pertence ao conjunto aberto . Mas porque . Isso contraria a propriedade de . Logo para todo fechado contendo . Portanto pertence à interseção desses fechados, i.e. . Assim . -
Mostrar
: suponha e por absurdo que exista um aberto com e . Então é aberto e contém , logo seu complemento é fechado, contém (porque ) e, no entanto, não contém (pois ). Isso contradiz , que exige que esteja em todo fechado que contém . Portanto não existe tal aberto , e assim . Logo .
Com isso já provamos que a condição (a) (que é a definição de
) é equivalente a
. Ou seja
.
Passo 6
Juntando os resultados:
pela passo 5;
pela passo 2; e
pelas passos 3 e 4. Assim todas as quatro afirmações são equivalentes:
Comentário de incentivo: pronto — mostramos cuidadosamente cada implicação e também a equivalência entre a descrição topológica (vizinhanças abertas) e a definição do fecho
. Se algo ficou confuso em alguma etapa, fala que eu explico esse pedaço com mais exemplos!