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1.) Dê um exemplo de família de abertos cuja interseção não é aberta. Dê um exemplo de familia de fechados cuja união não é fechada.
1.) Dê um exemplo de família de abertos cuja interseção não é aberta. Dê um exemplo de familia de fechados cuja união não é fechada.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas distintas:
- Um exemplo de uma família de conjuntos abertos cuja interseção (infinita) não é aberta.
- Um exemplo de uma família de conjuntos fechados cuja união (infinita) não é fechada.
Informações implícitas que vou usar (não pediste um espaço topológico específico, portanto vou trabalhar no espaço usual
com a distância euclidiana):
- Vou fornecer famílias indexadas por
. - Para cada família vou mostrar por que cada conjunto é aberto ou fechado, calcular a interseção/união e explicar por que o resultado não tem a propriedade pedida.
Passo 2
Pequena aula intuitiva (definições e ideias que vou usar).
- Definição de aberto em
: um conjunto é aberto se, para todo , existe tal que o intervalo aberto está contido em . Em palavras: todo ponto de tem uma bola (intervalo) em torno dele que permanece dentro de . - Definição de fechado em
: um conjunto é fechado se o seu complemento é aberto. Outra caracterização útil: é fechado se contém todos os seus pontos-limite (ou seja, se toda sequência convergente cujo limite está em e cujos termos ficam em tem o limite dentro de ). - Observação importante (fato usado): interseções arbitrárias de conjuntos fechados são fechadas; uniões finitas de conjuntos fechados são fechadas. De modo dual, uniões arbitrárias de abertos são abertos; interseções finitas de abertos são abertas. O problema mostra que as propriedades inversas (interseção arbitrária de abertos; união arbitrária de fechados) podem falhar.
Passo 3
Exemplo 1 — família de abertos cuja interseção não é aberta.
Defino a família
- Por que cada
é aberto? Porque cada é um intervalo aberto; para um ponto podemos tomar , e então . (Isto é a verificação da definição de aberto.) - Qual é a interseção
? Primeiro, para todo , logo pertence à interseção. Agora mostro que nenhum outro ponto pertence à interseção. Seja com . Então , e existe tal que (basta escolher ). Para esse temos , então . Assim . Portanto
- Por que
não é aberto? Pela definição de aberto, se fosse aberto existiria tal que . Mas contém infinitos pontos diferentes de , logo não pode estar contido em . Assim não é aberto.
Conclusão do exemplo 1: a família
é formada por abertos, mas a sua interseção é
, que não é aberto.
Passo 4
Exemplo 2 — família de fechados cuja união não é fechada.
Defino a família de singletons
- Por que cada
é fechado? Em (topologia usual) o complementar de um singleton é a união de dois intervalos abertos:
que é aberto; portanto
é fechado. Assim cada
é fechado.
- Qual é a união
? É o conjunto
- Por que
não é fechado? Mostro que é um ponto-limite de que não pertence a . De fato, seja . Escolha com . Então , logo qualquer vizinhança de contém pontos de distintos de . Assim é ponto-limite de . Como , o conjunto não contém todos os seus pontos-limite e, portanto, não é fechado.
Conclusão do exemplo 2: a família
é formada por conjuntos fechados, mas a sua união
não é fechada.
Passo 5
Observação final e intuição prática.
- Esses exemplos mostram por que é importante distinguir propriedades válidas para operações finitas e operações infinitas: interseções finitas de abertos continuam abertas, mas interseções infinitas podem perder a abertura; uniões finitas de fechados continuam fechadas, mas uniões infinitas podem perder o fechamento.
- Intuitivamente: ao intersectar muitos abertos centrados em zero estamos “apertando” progressivamente o conjunto até sobrar só um ponto (não aberto). Ao unir muitos fechados isolados estamos criando um conjunto que tem um novo ponto-limite (zero) que pode não estar incluído.