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1.) Dê um exemplo de família de abertos cuja interseção não é aberta. Dê um exemplo de familia de fechados cuja união não é fechada.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas:
  • Um exemplo de uma família de conjuntos abertos cuja interseção (infinita) não é aberta.
  • Um exemplo de uma família de conjuntos fechados cuja união (infinita) não é fechada.
Informações implícitas que vou usar (não pediste um espaço topológico específico, portanto vou trabalhar no espaço usual (\mathbb{R},d) com a distância euclidiana):
  • Vou fornecer famílias indexadas por n\in\mathbb{N}.
  • Para cada família vou mostrar por que cada conjunto é aberto ou fechado, calcular a interseção/união e explicar por que o resultado não tem a propriedade pedida.

Passo 2

Pequena aula intuitiva (definições e ideias que vou usar).
  • Definição de aberto em \mathbb{R}: um conjunto U\subset\mathbb{R} é aberto se, para todo x\in U, existe \varepsilon>0 tal que o intervalo aberto (x-\varepsilon,x+\varepsilon) está contido em U. Em palavras: todo ponto de U tem uma bola (intervalo) em torno dele que permanece dentro de U.
  • Definição de fechado em \mathbb{R}: um conjunto F\subset\mathbb{R} é fechado se o seu complemento \mathbb{R}\setminus F é aberto. Outra caracterização útil: F é fechado se contém todos os seus pontos-limite (ou seja, se toda sequência convergente cujo limite está em \mathbb{R} e cujos termos ficam em F tem o limite dentro de F).
  • Observação importante (fato usado): interseções arbitrárias de conjuntos fechados são fechadas; uniões finitas de conjuntos fechados são fechadas. De modo dual, uniões arbitrárias de abertos são abertos; interseções finitas de abertos são abertas. O problema mostra que as propriedades inversas (interseção arbitrária de abertos; união arbitrária de fechados) podem falhar.

Passo 3

Exemplo 1 — família de abertos cuja interseção não é aberta.
Defino a família
U_n = \left(-\tfrac{1}{n},\,\tfrac{1}{n}\right),\qquad n\in\mathbb{N}.
  • Por que cada U_n é aberto? Porque cada U_n é um intervalo aberto; para um ponto x\in\left(-\tfrac{1}{n},\tfrac{1}{n}\right) podemos tomar \varepsilon=\min\!\big\{\tfrac{1}{n}-x,\,x+\tfrac{1}{n}\big\}>0, e então (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset U_n. (Isto é a verificação da definição de aberto.)
  • Qual é a interseção \bigcap_{n=1}^{\infty} U_n? Primeiro, 0\in U_n para todo n, logo 0 pertence à interseção. Agora mostro que nenhum outro ponto pertence à interseção. Seja x\in\mathbb{R} com x\neq 0. Então |x|>0, e existe N\in\mathbb{N} tal que \tfrac{1}{N}<|x| (basta escolher N>\tfrac{1}{|x|}). Para esse N temos |x|>\tfrac{1}{N}, então x\notin U_N. Assim x\notin\bigcap_{n=1}^{\infty}U_n. Portanto
\bigcap_{n=1}^{\infty} U_n=\{0\}.
  • Por que \{0\} não é aberto? Pela definição de aberto, se \{0\} fosse aberto existiria \varepsilon>0 tal que (-\varepsilon,\varepsilon)\subset\{0\}. Mas (-\varepsilon,\varepsilon) contém infinitos pontos diferentes de 0, logo não pode estar contido em \{0\}. Assim \{0\} não é aberto.
Conclusão do exemplo 1: a família \{U_n\}_{n\in\mathbb{N}} é formada por abertos, mas a sua interseção é \{0\}, que não é aberto.

Passo 4

Exemplo 2 — família de fechados cuja união não é fechada.
Defino a família de singletons
F_n=\left\{\tfrac{1}{n}\right\},\qquad n\in\mathbb{N}.
  • Por que cada F_n é fechado? Em \mathbb{R} (topologia usual) o complementar de um singleton é a união de dois intervalos abertos:
\mathbb{R}\setminus\{a\}=(-\infty,a)\cup(a,\infty),
que é aberto; portanto \{a\} é fechado. Assim cada F_n é fechado.
  • Qual é a união \bigcup_{n=1}^{\infty} F_n? É o conjunto
F=\bigcup_{n=1}^{\infty}F_n=\left\{\tfrac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\right\}.
  • Por que F não é fechado? Mostro que 0 é um ponto-limite de F que não pertence a F. De fato, seja \varepsilon>0. Escolha N\in\mathbb{N} com \tfrac{1}{N}<\varepsilon. Então \tfrac{1}{N}\in F\cap(-\varepsilon,\varepsilon), logo qualquer vizinhança de 0 contém pontos de F distintos de 0. Assim 0 é ponto-limite de F. Como 0\notin F, o conjunto F não contém todos os seus pontos-limite e, portanto, não é fechado.
Conclusão do exemplo 2: a família \{F_n\}_{n\in\mathbb{N}} é formada por conjuntos fechados, mas a sua união \{\tfrac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\} não é fechada.

Passo 5

Observação final e intuição prática.
  • Esses exemplos mostram por que é importante distinguir propriedades válidas para operações finitas e operações infinitas: interseções finitas de abertos continuam abertas, mas interseções infinitas podem perder a abertura; uniões finitas de fechados continuam fechadas, mas uniões infinitas podem perder o fechamento.
  • Intuitivamente: ao intersectar muitos abertos centrados em zero estamos “apertando” progressivamente o conjunto até sobrar só um ponto (não aberto). Ao unir muitos fechados isolados estamos criando um conjunto que tem um novo ponto-limite (zero) que pode não estar incluído.

Resposta

\{\,(-\tfrac{1}{n},\tfrac{1}{n}) : n\in\mathbb{N}\,\} cuja interseção é \{0\}, que não é aberta.
\{\,\{\,\tfrac{1}{n}\,\} : n\in\mathbb{N}\,\} cuja união é \{\tfrac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}, que não é fechada.

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