2 - Para a viga dada, de seção quadrada (5 \times 5) \mathrm{cm}^{2}, pede-se:
a) Diagrama dos esforços solicitantes (fletor e torçor);
b) Isolar a seção engastada, colocando todos os esforços solicitantes;
c) Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial, para os pontos A e B da seção engastada. Esboçar o círculo de Mohr para estes pontos.
DADOS: Para \mathrm{a} / \mathrm{b}=1: \alpha=0,208

Passo 1

O que o problema pede:
  • (a) Fazer os diagramas dos esforços solicitantes (fletor e torçor);
  • (b) Isolar a seção engastada e colocar todos os esforços solicitantes (força normal, cisalhamento, momento fletor e torçor);
  • (c) Determinar, nos pontos A e B da seção engastada, as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial (máxima tensão de cisalhamento) e esboçar o círculo de Mohr para cada ponto.
Informações relevantes fornecidas (peguei estes dados da imagem):
  • Geometria da peça: braço horizontal de 60\\ \text{cm} medido a partir do engaste até a dobra; queda vertical de 50\\ \text{cm} desde a dobra até o ponto de aplicação das cargas.
  • Forças aplicadas no extremo livre (no fim da perna vertical):
    • 600\\ \text{kgf} horizontal para a direita.
    • 800\\ \text{kgf} vertical para baixo.
    • 400\\ \text{kgf} dirigido em 45^\circ (seta apontando para cima e para a esquerda).
  • Seção transversal quadrada: 5\times 5\\ \text{cm}^2.
  • Para razão a/b=1 foi dado \alpha = 0{,}208 (usado para constante torsional se necessário).
O enunciado pede as tensões nos pontos A e B da seção engastada. Pelo desenho, tomo:
  • Origem no centro da seção: coordenadas do ponto B = (y,z)=(+2{,}5\\ \text{cm},0) (centro do lado superior).
  • Coordenadas do ponto A = (y,z)=(0,-2{,}5\\ \text{cm}) (centro do lado esquerdo).
    (Nas fórmulas abaixo y é a coordenada vertical positiva para cima e z é a coordenada horizontal positiva para a direita.)

Passo 2

Decomposição das forças e cálculo das resultantes (fazendo tudo passo a passo):
  1. Decomponho a força 400\\ \text{kgf} em componentes horizontal e vertical (ângulo 45^\circ):
F_{400,x} = -400\cos45^\circ = -\frac{400}{\sqrt{2}} \approx -282{,}8427\\ \text{kgf},
F_{400,y} = +400\sin45^\circ = +\frac{400}{\sqrt{2}} \approx +282{,}8427\\ \text{kgf}.
(O sinal negativo em F_{400,x} indica componente para a esquerda.)
  1. Soma das forças (resultantes horizontais e verticais aplicadas no extremo livre):
\sum F_x = 600 + (-282{,}8427) = 317{,}1573\\ \text{kgf} \quad(\text{para a direita})
\sum F_y = -800 + 282{,}8427 = -517{,}1573\\ \text{kgf} \quad(\text{para baixo})
  1. Momento resultante na seção engastada (momento em relação ao centro da seção, usando vetor posição do ponto de aplicação r=(60\\ \text{cm},-50\\ \text{cm},0); calculo apenas o componente em k, que é o momento fletor fora do plano):
    Cada força gera momento M = r \times F. O único componente de momento não-nulo aqui é o componente em torno do eixo que dá fletor no plano da seção (componente M_k). Cálculos numéricos:
  • Momento da força 800\\ \text{kgf} (vertical) em x=60\\ \text{cm}:
M_{800} = 800\cdot 60 = 48\,000\\ \text{kgf}\cdot\text{cm} \quad(\text{sentido negativo conforme convenção adotada})çã
  • Momento da componente horizontal de 600\\ \text{kgf} aplicada a y=-50\\ \text{cm}:
M_{600} = 600\cdot 50 = 30\,000\\ \text{kgf}\cdot\text{cm} \quad(\text{soma algébrica será considerada})éá
  • Momento da força 400\\ \text{kgf} (suas componentes geram):
M_{400} = 60\cdot F_{400,y} - (-50)\cdot F_{400,x} = 60\cdot 282{,}8427 - 50\cdot 282{,}8427 = 10\cdot 282{,}8427 = 2\,828{,}427\\ \text{kgf}\cdot\text{cm}.
Somando os momentos (com sinais conforme cálculo vetorial):
M_{\text{res}} = -48\,000 + 30\,000 + 2\,828{,}427 = -15\,171{,}5729\\ \text{kgf}\cdot\text{cm}.
O sinal negativo só indica o sentido do momento; em módulo:
|M| = 15\,171{,}573\\ \text{kgf}\cdot\text{cm}.
  1. Torque (torçor) em torno do eixo do membro (eixo x): como todas as forças e posições estão no plano xy e não há componentes na direção z, o momento em torno do eixo x é zero:
T = 0.

Passo 3

Resumo dos esforços internos na seção engastada (valores numéricos, sinais: positivo para tração, momentos conforme cálculo):
  • Força axial (resultado na seção): N = \sum F_x = 317{,}1573\\ \text{kgf} (tração).
  • Força cortante vertical (resultado): V = \sum F_y = -517{,}1573\\ \text{kgf} (direção para baixo; valor absoluto 517{,}1573\\ \text{kgf}).
  • Momento fletor (em módulo): |M| = 15\,171{,}573\\ \text{kgf}\cdot\text{cm}. (Sinal conforme passo anterior.)
  • Torção: T = 0.
Esses são os esforços que eu coloco no corte da seção engastada (para o item b).

Passo 4

Propriedades da seção quadrada (passo-a-passo):
  • Área:
A = 5\cdot5 = 25\\ \text{cm}^2.
  • Momento de inércia (para a flexão em qualquer eixo que atravessa o centro, neste caso I_y=I_z para quadrado):
I = \frac{b h^3}{12} = \frac{5\cdot 5^3}{12} = \frac{625}{12} = 52{,}08333\\ \text{cm}^4.
  • Constante torsional J (se fosse necessário): para retângulo usa-se J=\alpha a b^3 com a\ge b. Aqui a=b=5\\ \text{cm} e \alpha=0{,}208:
J = \alpha a^4 = 0{,}208\cdot 5^4 = 0{,}208\cdot 625 = 130{,}0\\ \text{cm}^4.
(Não será usada porque T=0.)

Passo 5

Cálculo das tensões normais (devido à tração axial e ao momento fletor) nos pontos A e B:
Fórmulas que uso:
  • Tensão axial uniforme (tração/ compressão):
\sigma_N = \frac{N}{A}.
  • Tensão de flexão (distribuída linearmente):
\sigma_M = -\frac{M\,y}{I},
onde y é a coordenada vertical do ponto (positiva para cima). O sinal segue a convenção: se M produz compressão na fibra superior, \sigma_M será negativa lá.
  1. Tensão axial:
\sigma_N = \frac{317{,}1573}{25} = 12{,}68629\\ \text{kgf/cm}^2.
  1. Ponto B (topo, y_B=+2{,}5\\ \text{cm}):
\sigma_{M,B} = -\frac{15\,171{,}5729\cdot 2{,}5}{52{,}08333} = -728{,}76833\\ \text{kgf/cm}^2.
Tensão total em B:
\sigma_{x,B} = \sigma_N + \sigma_{M,B} = 12{,}68629 - 728{,}76833 = -716{,}08204\\ \text{kgf/cm}^2.
  1. Ponto A (meio do lado esquerdo, y_A=0):
\sigma_{M,A} = -\frac{M\cdot 0}{I} = 0.
Tensão total em A:
\sigma_{x,A} = \sigma_N + 0 = 12{,}68629\\ \text{kgf/cm}^2.
(Conclusão: B está fortemente comprimido, A tem pequena tração axial.)

Passo 6

Cálculo das tensões tangenciais de cisalhamento de flexão (cisalhamento longitudinal da viga) nos pontos:
  • Para seção retangular/quadrada a distribuição de tensão de cisalhamento longitudinal (ao longo da fibra) é aproximadamente parabólica e o valor máximo, no eixo neutro (centro), é:
\tau_{\max,\text{shear}} = \frac{3}{2}\cdot\frac{V}{A}.
Isto é uma fórmula padrão para seção retangular (máximo no centro).
Com V=517{,}1573\\ \text{kgf} (valor absoluto) e A=25\\ \text{cm}^2:
\tau_{\max,\text{shear}} = \frac{3}{2}\cdot\frac{517{,}1573}{25} = \frac{3}{2}\cdot 20{,}68629 = 31{,}02944\\ \text{kgf/cm}^2.
  • Localizações:
    • No ponto A (que está no eixo neutro, y=0): tomo \tau_{A} = 31{,}02944\\ \text{kgf/cm}^2.
    • No ponto B (extremo superior, y=+2{,}5\\ \text{cm}): a tensão de cisalhamento por flexão é praticamente zero (extremo da seção), então \tau_{B}\approx 0.
Observação: não há contribuição de torção (pois T=0), então a única tensão tangencial longitudinal relevante é a do cisalhamento transversal V.

Passo 7

Círculo de Mohr e tensões principais / máxima tensão tangencial em cada ponto (procedimento e cálculos):
Para estado plano de tensões (tensão longitudinal \sigma_x, tensão transversal \sigma_y=0 e cisalhamento \tau_{xy}), as tensões principais são:
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}.
E a máxima tensão de cisalhamento no plano é o raio do círculo:
\tau_{\max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}.
I) Para o ponto A:
  • \sigma_x = \sigma_{x,A} = 12{,}68629\\ \text{kgf/cm}^2.
  • \sigma_y = 0.
  • \tau_{xy} = \tau_{A} = 31{,}02944\\ \text{kgf/cm}^2.
Cálculos intermediários:
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} = 6{,}343145\\ \text{kgf/cm}^2, \qquad \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} = 6{,}343145\\ \text{kgf/cm}^2.
\tau_{\max,A} = \sqrt{6{,}343145^2 + 31{,}02944^2} = 31{,}66902\\ \text{kgf/cm}^2.
Portanto as tensões principais:
\sigma_{1,A} = 6{,}343145 + 31{,}66902 = 38{,}01217\\ \text{kgf/cm}^2,
\sigma_{2,A} = 6{,}343145 - 31{,}66902 = -25{,}32588\\ \text{kgf/cm}^2.
II) Para o ponto B:
  • \sigma_x = \sigma_{x,B} = -716{,}08204\\ \text{kgf/cm}^2.
  • \sigma_y = 0.
  • \tau_{xy} = \tau_B \approx 0.
Então:
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} = -358{,}04102\\ \text{kgf/cm}^2,
\tau_{\max,B} = \sqrt{\left(\frac{-716{,}08204}{2}\right)^2 + 0} = 358{,}04102\\ \text{kgf/cm}^2.
As tensões principais:
\sigma_{1,B} = -358{,}04102 + 358{,}04102 = 0\\ \text{kgf/cm}^2,
\sigma_{2,B} = -358{,}04102 - 358{,}04102 = -716{,}08204\\ \text{kgf/cm}^2.
Ângulo das tensões principais (opcional, útil para esboçar o círculo de Mohr) no ponto A:
\theta_p = \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}\right) = \tfrac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{2\cdot 31{,}02944}{12{,}68629}\right) \approx 39{,}22^\circ.
(Isto indica a orientação do plano principal relativo ao sistema x- y.)

Passo 8

Interpretação final e desenho (como esboçar o círculo de Mohr):
  • Ponto A: centro do círculo em 6{,}3431 no eixo \sigma, raio 31{,}6690. Círculo corta o eixo \sigma em 38{,}0122 e em -25{,}3259. Raio igual a máxima tensão de cisalhamento \tau_{\max,A}=31{,}6690.
  • Ponto B: círculo centrado em -358{,}0410 com raio 358{,}0410. Círculo corta o eixo \sigma em 0 e em -716{,}0820. Máxima tensão tangencial \tau_{\max,B}=358{,}0410.
Esses dois círculos de Mohr (um para A e outro para B) devem ser desenhados com os centros e raios acima; para A o círculo é relativamente pequeno, para B é grande e deslocado para tensões compressivas.

Resposta

(a) Diagrama:
  • Fletor (momento externo na seção): M = -15\,171{,}573\\ \text{kgf}\cdot\text{cm} (módulo 15\,171{,}573\\ \text{kgf}\cdot\text{cm}).
  • Torçor: T = 0.
(b) Esforços na seção engastada (isolamento):
  • Força axial: N = 317{,}1573\\ \text{kgf} (tração).
  • Força cortante vertical: V = 517{,}1573\\ \text{kgf} (para baixo, em módulo).
  • Momento fletor: M = -15\,171{,}573\\ \text{kgf}\cdot\text{cm}.
  • Torção: T = 0.
(c) Tensões principais e máxima tensão tangencial:
  • Ponto A:
    • \sigma_{1,A} = 38{,}01217\\ \text{kgf/cm}^2
    • \sigma_{2,A} = -25{,}32588\\ \text{kgf/cm}^2
    • \tau_{\max,A} = 31{,}66902\\ \text{kgf/cm}^2
  • Ponto B:
    • \sigma_{1,B} = 0\\ \text{kgf/cm}^2
    • \sigma_{2,B} = -716{,}08204\\ \text{kgf/cm}^2
    • \tau_{\max,B} = 358{,}04102\\ \text{kgf/cm}^2

Exercícios relacionados