2 - Para a viga dada, de seção quadrada
, pede-se:
a) Diagrama dos esforços solicitantes (fletor e torçor);
b) Isolar a seção engastada, colocando todos os esforços solicitantes;
c) Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial, para os pontos A e B da seção engastada. Esboçar o círculo de Mohr para estes pontos.
DADOS: Para
a) Diagrama dos esforços solicitantes (fletor e torçor);
b) Isolar a seção engastada, colocando todos os esforços solicitantes;
c) Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial, para os pontos A e B da seção engastada. Esboçar o círculo de Mohr para estes pontos.
DADOS: Para
Passo 1
O que o problema pede:
- (a) Fazer os diagramas dos esforços solicitantes (fletor e torçor);
- (b) Isolar a seção engastada e colocar todos os esforços solicitantes (força normal, cisalhamento, momento fletor e torçor);
- (c) Determinar, nos pontos A e B da seção engastada, as tensões normais principais e a máxima tensão tangencial (máxima tensão de cisalhamento) e esboçar o círculo de Mohr para cada ponto.
Informações relevantes fornecidas (peguei estes dados da imagem):
- Geometria da peça: braço horizontal de
medido a partir do engaste até a dobra; queda vertical de desde a dobra até o ponto de aplicação das cargas. - Forças aplicadas no extremo livre (no fim da perna vertical):
-
horizontal para a direita. -
vertical para baixo. -
dirigido em (seta apontando para cima e para a esquerda).
-
- Seção transversal quadrada:
. - Para razão
foi dado (usado para constante torsional se necessário).
O enunciado pede as tensões nos pontos A e B da seção engastada. Pelo desenho, tomo:
- Origem no centro da seção: coordenadas do ponto B =
(centro do lado superior). - Coordenadas do ponto A =
(centro do lado esquerdo).
(Nas fórmulas abaixoé a coordenada vertical positiva para cima e é a coordenada horizontal positiva para a direita.)
Passo 2
Decomposição das forças e cálculo das resultantes (fazendo tudo passo a passo):
- Decomponho a força
em componentes horizontal e vertical (ângulo ):
(O sinal negativo em
indica componente para a esquerda.)
- Soma das forças (resultantes horizontais e verticais aplicadas no extremo livre):
- Momento resultante na seção engastada (momento em relação ao centro da seção, usando vetor posição do ponto de aplicação
; calculo apenas o componente em , que é o momento fletor fora do plano):
Cada força gera momento. O único componente de momento não-nulo aqui é o componente em torno do eixo que dá fletor no plano da seção (componente ). Cálculos numéricos:
- Momento da força
(vertical) em :
- Momento da componente horizontal de
aplicada a :
- Momento da força
(suas componentes geram):
Somando os momentos (com sinais conforme cálculo vetorial):
O sinal negativo só indica o sentido do momento; em módulo:
- Torque (torçor) em torno do eixo do membro (eixo
): como todas as forças e posições estão no plano e não há componentes na direção , o momento em torno do eixo é zero:
Passo 3
Resumo dos esforços internos na seção engastada (valores numéricos, sinais: positivo para tração, momentos conforme cálculo):
- Força axial (resultado na seção):
(tração). - Força cortante vertical (resultado):
(direção para baixo; valor absoluto ). - Momento fletor (em módulo):
. (Sinal conforme passo anterior.) - Torção:
.
Esses são os esforços que eu coloco no corte da seção engastada (para o item b).
Passo 4
Propriedades da seção quadrada (passo-a-passo):
- Área:
- Momento de inércia (para a flexão em qualquer eixo que atravessa o centro, neste caso
para quadrado):
- Constante torsional
(se fosse necessário): para retângulo usa-se com . Aqui e :
(Não será usada porque
.)
Passo 5
Cálculo das tensões normais (devido à tração axial e ao momento fletor) nos pontos A e B:
Fórmulas que uso:
Fórmulas que uso:
- Tensão axial uniforme (tração/ compressão):
- Tensão de flexão (distribuída linearmente):
onde
é a coordenada vertical do ponto (positiva para cima). O sinal segue a convenção: se
produz compressão na fibra superior,
será negativa lá.
- Tensão axial:
- Ponto B (topo,
):
Tensão total em B:
- Ponto A (meio do lado esquerdo,
):
Tensão total em A:
(Conclusão: B está fortemente comprimido, A tem pequena tração axial.)
Passo 6
Cálculo das tensões tangenciais de cisalhamento de flexão (cisalhamento longitudinal da viga) nos pontos:
- Para seção retangular/quadrada a distribuição de tensão de cisalhamento longitudinal (ao longo da fibra) é aproximadamente parabólica e o valor máximo, no eixo neutro (centro), é:
Isto é uma fórmula padrão para seção retangular (máximo no centro).
Com
(valor absoluto) e
:
- Localizações:
- No ponto A (que está no eixo neutro,
): tomo . - No ponto B (extremo superior,
): a tensão de cisalhamento por flexão é praticamente zero (extremo da seção), então .
- No ponto A (que está no eixo neutro,
Observação: não há contribuição de torção (pois
), então a única tensão tangencial longitudinal relevante é a do cisalhamento transversal
.
Passo 7
Círculo de Mohr e tensões principais / máxima tensão tangencial em cada ponto (procedimento e cálculos):
Para estado plano de tensões (tensão longitudinal , tensão transversal
e cisalhamento
), as tensões principais são:
Para estado plano de tensões (tensão longitudinal
E a máxima tensão de cisalhamento no plano é o raio do círculo:
I) Para o ponto A:
-
. -
. -
.
Cálculos intermediários:
Portanto as tensões principais:
II) Para o ponto B:
-
. -
. -
.
Então:
As tensões principais:
Ângulo das tensões principais (opcional, útil para esboçar o círculo de Mohr) no ponto A:
(Isto indica a orientação do plano principal relativo ao sistema
-
.)
Passo 8
Interpretação final e desenho (como esboçar o círculo de Mohr):
- Ponto A: centro do círculo em
no eixo , raio . Círculo corta o eixo em e em . Raio igual a máxima tensão de cisalhamento . - Ponto B: círculo centrado em
com raio . Círculo corta o eixo em e em . Máxima tensão tangencial .
Esses dois círculos de Mohr (um para A e outro para B) devem ser desenhados com os centros e raios acima; para A o círculo é relativamente pequeno, para B é grande e deslocado para tensões compressivas.
Resposta
(a) Diagrama:
- Fletor (momento externo na seção):
(módulo ). - Torçor:
.
(b) Esforços na seção engastada (isolamento):
- Força axial:
(tração). - Força cortante vertical:
(para baixo, em módulo). - Momento fletor:
. - Torção:
.
(c) Tensões principais e máxima tensão tangencial:
- Ponto A:
-
- Ponto B:
-