Em 1706, o astrônomo e matemático britânico John Machin descobriu a seguinte fórmula para \pi / 4, chamada de fórmula de Machin:
\frac{\pi}{4}=4 \operatorname{arctg} \frac{1}{5}-\operatorname{arctg} \frac{1}{239}
Use um CAS para aproximar \pi / 4 usando a fórmula de Machin com até 25 casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a fórmula de Machin
\frac{\pi}{4}=4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}
e, com um CAS, aproximar \pi/4 com até 25 casas decimais. Vamos precisar calcular \arctan(1/5) e \arctan(1/239) com precisão suficiente e depois formar a combinação indicada.

Passo 2

No CAS, ajustamos a precisão para pelo menos 30–35 dígitos (para garantir 25 dígitos corretos no resultado final) e calculamos
A=\arctan\frac{1}{5},\quad B=\arctan\frac{1}{239}\,.

Passo 3

Ainda no CAS, formamos
\frac{\pi}{4}\approx 4A - B
e extraímos as primeiras 25 casas decimais após a vírgula.

Resposta

0,7853981633974483096156608

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