Prove: A série de Taylor de sen x em torno de qualquer ponto x=x_{0} converge para sen x em cada x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo ponto de expansão x_{0} e para todo x, a série de Taylor de \sin x centrada em x_{0} não só converge, mas converge de fato para \sin x. O conteúdo principal é o Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange, junto com um teste de convergência (razão) para verificar o raio de convergência.

Passo 2

Vamos escrever a série de Taylor de \sin x em torno de x_{0}. Como as derivadas de \sin x são periódicas de período 4, temos para n\ge0:
\sin^{(n)}(x)= \begin{cases} \sin x, & n\equiv0\pmod4,\\\ \cos x, & n\equiv1\pmod4,\\\\ -\sin x, & n\equiv2\pmod4,\\\\ -\cos x, & n\equiv3\pmod4. \end{cases}
Logo a série de Taylor é
\sin x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin^{(n)}(x_{0})}{n!}\,(x-x_{0})^{n}.

Passo 3

Para mostrar que essa série tem raio de convergência infinito, aplicamos o teste da razão. Note que \bigl|\sin^{(n)}(x_{0})\bigr|\le1 para todo n. Então, chamando
a_{n}=\frac{\sin^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n},
temos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\frac{\bigl|\sin^{(n+1)}(x_{0})\bigr|}{\bigl|\sin^{(n)}(x_{0})\bigr|} \cdot\frac{n!}{(n+1)!}\,|x-x_{0}| \le\frac{|x-x_{0}|}{n+1}.
À medida que n\to\infty, esse quociente vai a zero para qualquer x. Portanto o raio de convergência é infinito.

Passo 4

Só a convergência da série não garante que ela some \sin x. Para isso usamos o resto de Lagrange. O Teorema de Taylor com resto diz que, para cada N, existe \xi entre x_{0} e x tal que
R_{N}(x) =\sin x -\sum_{n=0}^{N}\frac{\sin^{(n)}(x_{0})}{n!}\,(x-x_{0})^{n} =\frac{\sin^{(N+1)}(\xi)}{(N+1)!}\,(x-x_{0})^{N+1}.
Como \bigl|\sin^{(N+1)}(\xi)\bigr|\le1, vem
\bigl|R_{N}(x)\bigr| \le\frac{|x-x_{0}|^{\,N+1}}{(N+1)!}.
E sabemos que \displaystyle\frac{|x-x_{0}|^{\,N+1}}{(N+1)!}\to0 quando N\to\infty. Logo R_{N}(x)\to0 e a série converge exatamente para \sin x.

Resposta

Concluímos que, para todo x_{0} e todo x, a série de Taylor de \sin x em torno de x_{0} converge e soma \sin x.

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