Prove: A série de Taylor de sen x em torno de qualquer ponto x=x_{0} converge para sen x em cada x.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo ponto de expansão x_{0} e para todo x, a série de Taylor de \sin x centrada em x_{0} não só converge, mas converge de fato para \sin x. O conteúdo principal é o Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange, junto com um teste de convergência (razão) para verificar o raio de convergência.
Passo 2
Vamos escrever a série de Taylor de \sin x em torno de x_{0}. Como as derivadas de \sin x são periódicas de período 4, temos para n\ge0:
\sin x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin^{(n)}(x_{0})}{n!}\,(x-x_{0})^{n}.
Passo 3
Para mostrar que essa série tem raio de convergência infinito, aplicamos o teste da razão. Note que \bigl|\sin^{(n)}(x_{0})\bigr|\le1 para todo n. Então, chamando
À medida que n\to\infty, esse quociente vai a zero para qualquer x. Portanto o raio de convergência é infinito.
Passo 4
Só a convergência da série não garante que ela some \sin x. Para isso usamos o resto de Lagrange. O Teorema de Taylor com resto diz que, para cada N, existe \xi entre x_{0} e x tal que
R_{N}(x) =\sin x -\sum_{n=0}^{N}\frac{\sin^{(n)}(x_{0})}{n!}\,(x-x_{0})^{n} =\frac{\sin^{(N+1)}(\xi)}{(N+1)!}\,(x-x_{0})^{N+1}.