Em 1706, o astrônomo e matemático britânico John Machin descobriu a seguinte fórmula para \pi / 4, chamada de fórmula de Machin:
\frac{\pi}{4}=4 \operatorname{arctg} \frac{1}{5}-\operatorname{arctg} \frac{1}{239}
Em 1914, o brilhante matemático indiano Srinivasa Ramanujan (1887-1920) mostrou que
\frac{1}{\pi}=\frac{\sqrt{8}}{9.801} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(4 k)!(1.103+26.390 k)}{(k!)^{4} 396^{4 k}}
Use um CAS para calcular as primeiras quatro somas parciais nessa fórmula de Ramanujan.

Passo 1

O enunciado apresenta a fórmula de Ramanujan para \tfrac1\pi, que é
\frac{1}{\pi} = \frac{\sqrt{8}}{9.801} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(4k)!\,\bigl(1.103+26.390\,k\bigr)}{(k!)^{4}\,396^{4k}}
O que nos pedem é usar um CAS para calcular as quatro primeiras somas parciais
S_n = \frac{\sqrt{8}}{9.801} \sum_{k=0}^{n} \frac{(4k)!\,\bigl(1.103+26.390\,k\bigr)}{(k!)^{4}\,396^{4k}}
para n=0,1,2,3.

Passo 2

Em um CAS (por exemplo Mathematica ou MATLAB com Symbolic Toolbox) definimos
S_n \;=\;\frac{\sqrt{8}}{9.801}\sum_{k=0}^{n}\frac{(4k)!\,(1.103+26.390\,k)}{(k!)^{4}\,396^{4k}}
e, em seguida, avaliamos numericamente cada S_n com precisão suficiente (por exemplo 16 casas decimais).

Passo 3

Para n=0 a soma tem só o termo k=0:
S_0 = \frac{\sqrt{8}}{9.801}\,\frac{(0)! \,(1.103+26.390\cdot 0)}{(0!)^{4}\,396^{0}} = \frac{\sqrt{8}}{9.801}\times 1.103.
No CAS, ao avaliar com 16 casas decimais, obtém‐se
S_0 \approx 0.3183098941319910.

Passo 4

Para n=1 adicionamos o termo k=1:
S_1 = S_0 + \frac{\sqrt{8}}{9.801}\, \frac{(4\cdot1)!\,(1.103+26.390\cdot1)}{(1!)^{4}\,396^{4}}.
O CAS retorna, com 16 dígitos,
S_1 \approx 0.3183098861837910.

Passo 5

Para n=2 incluímos o termo k=2:
S_2 = S_1 + \frac{\sqrt{8}}{9.801}\, \frac{(8)!\,(1.103+26.390\cdot2)}{(2!)^{4}\,396^{8}}.
O CAS calcula
S_2 \approx 0.3183098861837907.

Passo 6

Finalmente, para n=3 adicionamos o termo k=3:
S_3 = S_2 + \frac{\sqrt{8}}{9.801}\, \frac{(12)!\,(1.103+26.390\cdot3)}{(3!)^{4}\,396^{12}}.
E o CAS dá
S_3 \approx 0.31830988618379067.

Resposta

Soma parcial até k=0:
S_0 \approx 0.3183098941319910
Soma parcial até k=1:
S_1 \approx 0.3183098861837910
Soma parcial até k=2:
S_2 \approx 0.3183098861837907
Soma parcial até k=3:
S_3 \approx 0.31830988618379067

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