Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-8}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x-2}.
O conteúdo aqui é cálculo de limites usando manipulação algébrica para eliminar a indeterminação do tipo \frac{0}{0}. Vamos usar a fatoração de diferença de cubos.

Passo 2

Fatoramos o numerador pela identidade de diferença de cubos:
x^3-8 = x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x+4).

Passo 3

Substituindo essa fatoração na expressão original e cancelando o fator (x-2) (válido para x\neq 2), obtemos
\frac{x^3-8}{x-2} = \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} = x^2+2x+4.

Passo 4

Como a função x^2+2x+4 é polinomial e, portanto, contínua, basta substituir x=2 diretamente:
\lim_{x\to 2}(x^2+2x+4) = 2^2 + 2\cdot2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12.

Resposta

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