172 Obtenha uma expressão para o cálculo da variação da amplitude de um movimento harmônico amortecido em função do número de períodos (t / T), onde T é o período.

Passo 1

O enunciado pede a expressão da amplitude de um movimento harmônico amortecido em função do número de períodos n = t/T. O conteúdo de matéria é solução da equação do oscilador amortecido, cuja solução geral é
x(t) = A_0\,e^{-\beta t}\cos(\omega_d t + \varphi),
onde \beta é o coeficiente de amortecimento (em \text{s}^{-1}) e \omega_d a frequência amortecida. A amplitude “instantânea” é dada por
A(t) = A_0\,e^{-\beta t}.

Passo 2

Definimos o período da oscilação amortecida como
T = \frac{2\pi}{\omega_d}
e o número de ciclos transcorridos até o instante t como
n = \frac{t}{T}.

Passo 3

A amplitude depois de n períodos (isto é, em t = nT) é
A(nT) = A_0\,e^{-\beta\,(nT)} = A_0\,\bigl(e^{-\beta T}\bigr)^{n}.

Passo 4

Substituindo n = t/T obtemos a amplitude como função de t/T:
A(t) = A_0\,\Bigl(e^{-\beta T}\Bigr)^{\,t/T}.

Resposta

\boxed{A(t)=A_0\;\bigl(e^{-\beta T}\bigr)^{\,t/T},}
onde \beta é o coeficiente de amortecimento e T o período da oscilação amortecida.

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