A força que atua sobre uma partícula presa a uma mola possui módulo dado pela relação: F=-10 x, onde a força é dada em newtons e a distância x é dada em metros, (a) Determine a energia potencial em função de x sabendo que E_{P}=0, para x=0. (b) Determine o valor da energia potencial, para x=0,4 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá a força de uma mola como
F(x) = -10\,x
em newtons, com x em metros, e pede a energia potencial E_{P}(x) escolhendo E_{P}(0)=0, além de avaliar E_{P} em x=0,4,m. Para resolver, usamos a relação entre força conservativa e energia potencial:
F(x) = -\frac{dE_{P}}{dx}.

Passo 2

Integramos a força para obter E_{P}(x) de forma geral, incluindo constante de integração C:
E_{P}(x) = -\int F(x)\,dx = -\int \bigl(-10\,x\bigr)\,dx = 10\int x\,dx = 10\cdot\frac{x^2}{2} + C = 5\,x^2 + C.

Passo 3

Impondo a condição E_{P}(0)=0, temos
E_{P}(0) = 5\cdot0^2 + C = C = 0.
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E_{P}(x) = 5\,x^2.

Passo 4

Para x=0,4,m, calculamos
E_{P}(0,4) = 5 \,(0,4)^2 = 5 \times 0,16 = 0,8
em joules.

Resposta

(a) \displaystyle E_{P}(x) = 5\,x^2.
(b) \displaystyle E_{P}(0,4) = 0,8\\ \text{J}.

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