18.71 Uma barra A B de comprimento L está articulada a um braço B C em B e é posta a girar em torno do eixo vertical C D, com velocidade angular \omega. Sabendo que a barra forma um ângulo \theta=25^{\circ} com a horizontal, deduza uma expressão para o correspondente módulo de \omega.

Passo 1

O enunciado nos diz que temos uma barra AB de comprimento L articulada em B a um braço BC que gira em torno do eixo vertical CD com velocidade angular \omega. A barra faz um ângulo \theta com a horizontal.
Precisamos encontrar \omega em função de L, g e \theta. O conteúdo é equilíbrio de torques em referência rotativa, envolvendo peso e força centrífuga.

Passo 2

Consideramos a barra em equilíbrio no referencial que gira com velocidade \omega. Nesse referencial atua sobre a barra: o peso mg concentrado no centro de massa, situado a uma distância L/2 de B, e a força centrífuga equivalente a m\omega^2r, onde r é a distância horizontal entre o centro de massa e o eixo de rotação.
A projeção horizontal da barra é L\cos\theta, então o centro de massa está a
r = \frac{L}{2}\cos\theta.

Passo 3

Calculamos o momento (torque) do peso em relação ao ponto B. O peso atua verticalmente para baixo e sua alavanca perpendicular à direção do peso é a projeção horizontal da posição do CM:
\tau_g = mg \cdot \frac{L}{2}\cos\theta.

Passo 4

Agora o torque da força centrífuga. A força centrífuga efetiva no CM vale
F_{\mathrm{cf}} = m\omega^2r = m\omega^2\frac{L}{2}\cos\theta.
Essa força atua horizontalmente, e sua alavanca em relação a B é a projeção vertical do CM:
\frac{L}{2}\sin\theta.
Logo o torque devido à força centrífuga é
\tau_{\mathrm{cf}} = F_{\mathrm{cf}}\cdot \frac{L}{2}\sin\theta = m\omega^2\frac{L}{2}\cos\theta\cdot \frac{L}{2}\sin\theta.

Passo 5

No equilíbrio, esses torques se igualam:
\tau_{\mathrm{cf}} = \tau_g.
Substituindo e simplificando (cancelando m e \tfrac{L}{2}\cos\theta), obtemos
\omega^2\frac{L}{2}\sin\theta = g
portanto
\omega^2 = \frac{2g}{L\sin\theta}
e finalmente
\omega = \sqrt{\frac{2g}{L\sin\theta}}.

Resposta

\omega = \sqrt{\frac{2g}{L\sin\theta}}.

Exercícios relacionados