Ex 18. Uma empresa produz dois tipos de bioreatores (A e B). Esses bioreatores são vendidos com garantia, caso apresentem algum defeito grave no prazo de 6 meses. Suponha que o tempo para ocorrência de algum defeito grave seja, em ambos os bioreatores, uma variável com distribuição normal, respectivamente, com médias 9 meses e 12 meses e variâncias de 4 meses ^{2} e 9 meses ^{2}. Desta forma, calcule:
a) A probabilidade de cada tipo de bioreator (A e B) não apresentar algum problema no prazo de 6 meses.
b) Suponha que 20.000 bioreatores do tipo A e 8.000 do tipo B foram produzidos, quantos bioreatores de cada tipo é esperado que apresentem algum problema grave antes de 6 meses?

Passo 1

Resumindo, o tempo até o defeito grave nos bioreatores A e B segue distribuições normais
\mathcal{N}(\mu_A,\sigma_A^2) e \mathcal{N}(\mu_B,\sigma_B^2) com
\mu_A=9, \sigma_A^2=4 ( \sigma_A=2);
\mu_B=12, \sigma_B^2=9 ( \sigma_B=3).
Precisamos calcular:
a) a probabilidade de cada tipo não apresentar defeito até 6 meses, ou seja P(T>6);
b) o número esperado de bioreatores que falham antes de 6 meses, dado 20 000 do tipo A e 8 000 do tipo B.

Passo 2

Para o tipo A definimos
Z = \frac{T_A - \mu_A}{\sigma_A} = \frac{T_A - 9}{2}.
Então
P(T_A>6) \;=\; 1 - P\Bigl(Z \le \frac{6-9}{2}\Bigr) \;=\; 1 - \Phi(-1,5) \;=\; \Phi(1,5) \approx 0,9332.

Passo 3

Para o tipo B definimos
Z = \frac{T_B - \mu_B}{\sigma_B} = \frac{T_B - 12}{3}.
Então
P(T_B>6) \;=\; 1 - P\Bigl(Z \le \frac{6-12}{3}\Bigr) \;=\; 1 - \Phi(-2) \;=\; \Phi(2) \approx 0,9772.

Passo 4

O número esperado de falhas antes de 6 meses é
para A:
20000 \times P(T_A \le 6) =20000 \times (1 - 0,9332) =20000 \times 0,0668 \approx 1336
para B:
8000 \times P(T_B \le 6) =8000 \times (1 - 0,9772) =8000 \times 0,0228 \approx 182{.}

Resposta

a) Tipo A: P(T>6)\approx0,9332
Tipo B: P(T>6)\approx0,9772
b) Espera-se aproximadamente 1336 falhas no tipo A e 182 falhas no tipo B antes de 6 meses.

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