18 - Um fio condutor de raio R transporta uma corrente uniforme. A corrente total no fio é i. Mostre que a energia magnética por unidade de comprimento dentro do fio é dada por \mu_{0} i^{2} / 16 \pi.

Passo 1

O enunciado pede a energia magnética por unidade de comprimento armazenada no interior de um fio de raio R que transporta corrente total i com densidade de corrente uniforme.
Conteúdo aplicado: Lei de Ampère para achar o campo magnético \mathbf{B}(r) dentro do fio, e fórmula da densidade de energia magnética
u(r)=\frac{B(r)^2}{2\mu_0}
para integrar em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Como a corrente está uniformemente distribuída, a densidade de corrente é
J = \frac{i}{\pi R^2}\,.
Para r<R, a Lei de Ampère numa trajetória circular de raio r
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = B(r)\,2\pi r = \mu_0\,I_{\rm enc}
com I_{\rm enc}=J\,\pi r^2. Logo
B(r)\,2\pi r = \mu_0\,J\,\pi r^2 \quad\Longrightarrow\quad B(r) = \frac{\mu_0 J\,r}{2} = \frac{\mu_0\,i\,r}{2\pi R^2}\,.

Passo 3

A densidade de energia magnética é
u(r)=\frac{B(r)^2}{2\mu_0} =\frac{1}{2\mu_0}\Bigl(\frac{\mu_0\,i\,r}{2\pi R^2}\Bigr)^2 =\frac{\mu_0\,i^2\,r^2}{8\pi^2 R^4}\,.

Passo 4

A energia por unidade de comprimento U' é a integral de u(r) sobre a seção transversal:
U'=\int_{0}^{R}u(r)\,dV =\int_{0}^{R}\frac{\mu_0\,i^2\,r^2}{8\pi^2 R^4}\;(2\pi r\,dr)\,.
Aqui dV=2\pi r\,dr corresponde à área de um anel de raio r e espessura dr, considerando comprimento unitário.

Passo 5

Simplificando o integrando,
U'=\frac{\mu_0\,i^2}{8\pi^2 R^4}\;2\pi\int_{0}^{R}r^3\,dr =\frac{\mu_0\,i^2}{4\pi R^4}\;\Bigl[\frac{r^4}{4}\Bigr]_{0}^{R} =\frac{\mu_0\,i^2}{4\pi R^4}\;\frac{R^4}{4} =\frac{\mu_0\,i^2}{16\pi}\,.

Resposta

\displaystyle \frac{\mu_{0}\,i^{2}}{16\pi}

Exercícios relacionados