Uma fonte de tensão alternada fornece uma tensão \Delta v=98 \operatorname{sen}(80 \pi t) a um capacitor onde a tensão é dada em volts e o tempo t em segundos. A corrente máxima no circuito é 0,5 \mathrm{~A}. Determine: (a) a tensão rms da fonte, (b) a frequência da fonte e (c) o valor da capacitância.

Passo 1

O enunciado nos dá a tensão alternada
\Delta v(t) = 98 \sin(80\pi t)
num capacitor, e informa que a corrente máxima no circuito é 0{,}5\\ \mathrm{A}. O que precisamos calcular é:
(a) a tensão eficaz (rms) da fonte, (b) a frequência da fonte e (c) a capacitância do capacitor.

Passo 2

Para achar a tensão rms de uma senoide de amplitude V_m, usamos a fórmula
V_{\mathrm{rms}} = \frac{V_m}{\sqrt{2}}.
Aqui V_m = 98\\ \mathrm{V}. Logo,
V_{\mathrm{rms}} = \frac{98}{\sqrt{2}} = 49\sqrt{2}\\ \mathrm{V}.

Passo 3

A forma geral da senoide é \sin(\omega t), de modo que \omega = 80\pi\\ \mathrm{rad/s}. A relação com a frequência é
f = \frac{\omega}{2\pi},
então
f = \frac{80\pi}{2\pi} = 40\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

No capacitor a corrente instantânea é
i(t) = C\,\frac{d}{dt}\bigl[V_m\sin(\omega t)\bigr] = C\,V_m\,\omega\,\cos(\omega t).
A amplitude dessa corrente é
I_m = C\,V_m\,\omega.
Desse modo, isolamos C:
C = \frac{I_m}{V_m\,\omega} = \frac{0{,}5}{98 \times 80\pi} = \frac{0{,}5}{7840\pi}\\ \mathrm{F} \approx 2{,}03\times 10^{-5}\\ \mathrm{F}.
Em unidades práticas,
C \approx 20{,}3\\ \mu\mathrm{F}.

Resposta

(a) V_{\mathrm{rms}} = 49\sqrt{2}\\ \mathrm{V}.
(b) f = 40\\ \mathrm{Hz}.
(c) C \approx 20{,}3\\ \mu\mathrm{F}.

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