7.18 8 Um fio de 3 mm de raio é constituído de um material interno ( 0<\rho<2 \mathrm{~mm} ) para o qual \sigma=10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m}, e de um material externo ( 2 \mathrm{~mm}<\rho<3 \mathrm{~mm} ) para o qual \sigma=4 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m}. Se pelo fio passa uma corrente contínua total de 100 mA , determine
\mathbf{H} em todos os pontos como uma função de \rho.

Passo 1

O enunciado descreve um fio cilíndrico de raio externo 3\,\text{mm} com duas regiões concêntricas:
– Região interna 0\le\rho\le2\,\text{mm} com condutividade \sigma_{1}=10^{7}\,\text{S/m}.
– Região externa 2\,\text{mm}<\rho\le3\,\text{mm} com condutividade \sigma_{2}=4\times10^{7}\,\text{S/m}.
Pela secção passa uma corrente contínua total I=100\,\text{mA}. Queremos \mathbf{H}(\rho) em todas as regiões usando a Lei de Ampère, que diz
\oint \mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell} \;=\; I_{\mathrm{enc}}(\rho)
e, devido à simetria cilíndrica, \displaystyle H(\rho)\,2\pi\rho = I_{\mathrm{enc}}(\rho). Para achar I_{\mathrm{enc}}(\rho) precisamos primeiro da distribuição de corrente (densidades J_1 e J_2) nas duas regiões, que vem de J=\sigma E com E uniforme ao longo do fio.

Passo 2

Calcular o campo elétrico axial E e as densidades de corrente J_{1}, J_{2}.
A área da região interna é
A_{1} = \pi (2\times10^{-3})^{2} = 4\pi\times10^{-6}\,\text{m}^2,
e da região externa
A_{2} = \pi\bigl[(3\times10^{-3})^{2} - (2\times10^{-3})^{2}\bigr] = 5\pi\times10^{-6}\,\text{m}^2.
Como E é o mesmo em todo o condutor, a corrente total é
I = E\bigl(\sigma_{1}A_{1} + \sigma_{2}A_{2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{I}{\sigma_{1}A_{1} + \sigma_{2}A_{2}}.
Substituindo I=0{,}1\,\text{A}, \sigma_{1}=10^{7}, \sigma_{2}=4\cdot10^{7}:
E = \frac{0{,}1}{10^{7}\cdot4\pi10^{-6} \;+\; 4\cdot10^{7}\cdot5\pi10^{-6}} = \frac{0{,}1}{240\pi}\approx1{,}326\times10^{-4}\,\text{V/m}.
Logo
J_{1} = \sigma_{1}E \approx 10^{7}\times1{,}326\times10^{-4} = 1326\,\text{A/m}^2, \quad J_{2} = \sigma_{2}E \approx 4\cdot10^{7}\times1{,}326\times10^{-4} = 5304\,\text{A/m}^2.

Passo 3

Determinar \mathbf{H}(\rho) para 0\le\rho\le2\,\text{mm}.
A corrente encerrada até uma distância \rho nessa região é
I_{\mathrm{enc}}(\rho) = J_{1}\, \pi \rho^{2}.
Pela Lei de Ampère,
H(\rho)\,2\pi\rho = J_{1}\,\pi\rho^{2} \quad\Longrightarrow\quad H(\rho) = \frac{J_{1}\,\rho}{2} = \frac{1326}{2}\,\rho = 663\,\rho \quad\bigl[\text{A/m}\bigr].

Passo 4

Determinar \mathbf{H}(\rho) para 2\,\text{mm}<\rho\le3\,\text{mm}.
Agora I_{\mathrm{enc}}(\rho) inclui toda a corrente interna mais parte da externa:
I_{\mathrm{enc}}(\rho) = J_{1}\,\pi(2\times10^{-3})^{2} + J_{2}\,\pi\bigl(\rho^{2} - (2\times10^{-3})^{2}\bigr).
Então
H(\rho)\,2\pi\rho = 1326\,\pi\,(2\times10^{-3})^{2} + 5304\,\pi\bigl(\rho^{2} - (2\times10^{-3})^{2}\bigr),
H(\rho) = \frac{1326\,(2\times10^{-3})^{2} + 5304\bigl(\rho^{2} - (2\times10^{-3})^{2}\bigr)}{2\,\rho} \quad\bigl[\text{A/m}\bigr].

Passo 5

Determinar \mathbf{H}(\rho) para \rho>3\,\text{mm}.
Toda a corrente I=0{,}1\,\text{A} está dentro do caminho de Ampère, logo
H(\rho)\,2\pi\rho = I \quad\Longrightarrow\quad H(\rho) = \frac{I}{2\pi\rho} = \frac{0{,}1}{2\pi\rho} \quad\bigl[\text{A/m}\bigr].

Resposta

Para \rho em metros, a intensidade de campo magnético H(\rho) é
H(\rho)= \begin{cases} 663\,\rho, & 0\le\rho\le2\times10^{-3},\\[6pt] \displaystyle \frac{1326\,(2\times10^{-3})^{2} +5304\bigl(\rho^{2}-(2\times10^{-3})^{2}\bigr)}{2\,\rho}, & 2\times10^{-3}<\rho\le3\times10^{-3},\\[8pt] \displaystyle \frac{0{,}1}{2\pi\rho}, & \rho>3\times10^{-3}. \end{cases}]

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