7.19 Em coordenadas esféricas, a superfície de um cone condutor sólido é descrita por \theta=\pi / 4, e a de um plano condutor, por \theta=\pi / 2. Cada um conduz uma corrente total igual a I. A corrente flui como uma corrente superficial radialmente para dentro, no plano em direção ao vértice do cone, e então flui radialmente para fora em toda a parte da seção reta (transversal) do condutor cônico. (a) Expresse a densidade superficial de corrente como uma função de r; (b) expresse a densidade volumétrica de corrente no interior do cone como uma função de r; (c) determine
\mathbf{H} como uma função de r e \theta na região entre o cone e o plano; ( d ) determine
\mathbf{H} como uma função de r e \theta no interior do cone.
\mathbf{H} como uma função de r e \theta na região entre o cone e o plano; ( d ) determine
\mathbf{H} como uma função de r e \theta no interior do cone.
Passo 1
O enunciado descreve um condutor formado por um cone sólido cuja superfície lateral está em
e por um plano em
. Cada um desses condutores transporta uma corrente total
. No plano
a corrente superficial flui radialmente para dentro, em direção ao vértice do cone, e no interior do cone
ela flui radialmente para fora, atravessando a seção transversal do cone. Para resolver usamos: conservação de corrente (cálculo de densidades de corrente superficial e volumétrica) e a Lei de Ampère simétrica para determinar
.
Passo 2
Para a densidade superficial de corrente no plano condutor note que, em qualquer círculo de raio
no plano, a corrente total atravessando essa circunferência é sempre
. Se
é a densidade superficial radial, então
logo
No plano
temos
, de modo que
sendo o sinal “
” porque o fluxo é radial para dentro.
Passo 3
Para a densidade volumétrica no interior do cone usamos que, numa esfera de raio
, a corrente total atravessa a área da “calota” de abertura
. Essa área é
Como a corrente total é
e flui radialmente para fora,
Passo 4
Na região entre o cone e o plano
não há corrente volumétrica, só a superficial no plano. Pelo simetria
tem só componente
. Tomamos um laço circular de raio
e aplicamos
Logo
Passo 5
No interior do cone
aplicamos Ampère a um laço igual e vemos que a corrente envolvida é a parte da corrente volumétrica contida entre
e
. Assim
Portanto
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)