7.18 Se a força for P=800 \mathrm{lb}, qual será a tensão de cisalhamento máxima sobre a viga na seção crítica? Os apoios em A e B exercem apenas reações verticais.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte:
  • Dado: a força P=800\\ \text{lb}.
  • Condição: os apoios em A e B exercem apenas reações verticais.
  • Pergunta: qual será a tensão de cisalhamento máxima sobre a viga na seção crítica?
Informações que não foram fornecidas (e que são necessárias para um cálculo numérico):
  • A geometria do problema (posição da carga P em relação aos apoios, comprimento do vão, se há outras cargas, localização da “seção crítica”).
  • A forma e dimensões da seção transversal da viga (por exemplo: retangular com largura b e altura h, circular com diâmetro d, seção em I, etc.). Essas dimensões são necessárias para calcular a tensão de cisalhamento a partir do esforço cortante.

Passo 2

O primeiro passo prático para achar a tensão de cisalhamento é determinar o esforço cortante interno V na seção crítica. Para isso usamos equilíbrio estático da viga inteira.
Como regra geral, para uma viga com um carregamento concentrado P em alguma posição e apoios em A e B (apoiada simplesmente), as reações verticais R_A e R_B são obtidas por:
\sum F_y=0:\qquad R_A+R_B - P = 0,
\sum M_A=0:\qquad R_B\cdot L - P\cdot a = 0,
onde:
  • L é o vão total entre os apoios A e B,
  • a é a distância da carga P até o apoio A (então a distância até B é L-a).
Resolvendo as equações (momento em A e soma vertical), obtém-se as reações:
R_A = P\frac{L-a}{L},\qquad R_B = P\frac{a}{L}.
Expliquei: peguei essas fórmulas do equilíbrio (somar momentos e forças). Sem saber a e L não dá para obter R_A e R_B numericamente.

Passo 3

Depois de obter as reações, o esforço cortante interno V em uma seção depende da posição da seção relativa às cargas. Para uma seção imediatamente à direita do apoio A (por exemplo), o valor de V é V=R_A (se não houver outras cargas entre A e a seção). Em geral, para uma seção entre A e a carga:
V(x)=R_A - (\text{soma de forças concentradas entre }A\text{ e a seção}) - (\text{resultado das cargas distribuídas}).ççãí
O valor absoluto máximo do esforço cortante costuma ocorrer próximo aos apoios ou imediatamente à esquerda/direita de uma carga concentrada — depende do tipo e localização das cargas. Para uma única carga concentrada P em vão simples, os valores máximos de V são |R_A| e |R_B|.
Portanto: para saber V_{\max} preciso da posição da carga P (para calcular R_A e R_B).

Passo 4

A tensão de cisalhamento longitudinal (aquela que normalmente se pede: tensão de cisalhamento transversal na seção) é obtida pela fórmula de Vlasov / fórmula clássica de cisalhamento em vigas:
\tau = \frac{V\,Q}{I\,t},
onde:
  • V é o esforço cortante interno na seção (força transversa, em lb),
  • Q é o primeiro momento de área da parte da seção cortada em relação ao eixo neutro até a fibra onde se calcula \tau (unidade: distância vezes área),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (unidade: comprimento^4),
  • t é a largura efetiva da seção na linha onde se mede a tensão (para retângulos, t é a largura b; para perfis em I varia com a camada onde se avalia).
Explicando Q de forma prática:
  • Para calcular \tau numa linha a uma distância y do eixo neutro (por exemplo para a fibra no centro), toma-se a área A' da parte da seção entre essa fibra e o limite extremo (normalmente a parte “acima” do eixo neutro) e calcula-se Q=A'\cdot \bar{y}, sendo \bar{y} a distância do eixo neutro ao centróide da área A'.

Passo 5

Vou ilustrar como aplicar \tau=\dfrac{VQ}{I t} para a seção mais comum em provas: seção retangular (largura b, altura h).
Para um retângulo:
  • O eixo neutro horizontal fica no meio (distância h/2 do topo).
  • Para a fibra de maior cisalhamento (normalmente no eixo neutro, y=0), escolhemos A' como a metade superior da seção: A' = b\cdot\frac{h}{2}.
  • O centróide dessa metade fica a uma distância \bar{y}=\dfrac{h}{4} do eixo neutro.
  • Logo Q = A'\bar{y} = b\cdot\frac{h}{2}\cdot\frac{h}{4} = \dfrac{b h^2}{8}.
  • O momento de inércia em relação ao eixo neutro é I = \dfrac{b h^3}{12}.
  • A largura t na linha neutra é t=b.
Substituindo em \tau=\dfrac{VQ}{I t}:
\tau_{\max}=\frac{V\cdot\left(\dfrac{b h^2}{8}\right)}{\left(\dfrac{b h^3}{12}\right)\cdot b} = \frac{V}{b h}\cdot\frac{12}{8} = \frac{3}{2}\,\frac{V}{b h}.
Portanto, para seção retangular a tensão de cisalhamento máxima ocorre no eixo neutro e vale
\boxed{\tau_{\max}=\dfrac{3V}{2 b h}},
onde V é o esforço cortante interno na seção (por exemplo V=R_A ou R_B dependendo de onde está a seção). Note que aqui b é a largura da seção transversal e h sua altura.

Passo 6

Para outras formas de seção existem fórmulas análogas:
  • Para seção circular sólida (raio r, área A=\pi r^2) a tensão máxima vale
\tau_{\max}=\frac{4}{3}\,\frac{V}{A}=\frac{4V}{3\pi r^2}.
  • Para perfis em I, T, etc., o procedimento é o mesmo (calcular Q, I e t na posição desejada), mas a cálculo de Q e I exige decompor a seção em retângulos e/ou usar tabelas.

Passo 7

Juntando tudo: se fosse uma viga biapoiada com uma carga concentrada P a uma distância a de A ( L = vão total), então
R_A = P\frac{L-a}{L},\qquad R_B = P\frac{a}{L}.
O esforço cortante máximo será \max(|R_A|,|R_B|) (para essa configuração simples). Se a seção crítica for retangular com largura b e altura h, a tensão máxima correspondente seria
\tau_{\max} = \frac{3}{2}\,\frac{V_{\max}}{b h} = \frac{3}{2}\,\frac{1}{b h}\,P\frac{\max(L-a,a)}{L}.
Observação: eu usei V_{\max}=P\frac{\max(L-a,a)}{L} — isso é pegar a maior das reações.

Passo 8

Não é possível fornecer um valor numérico para a tensão de cisalhamento máxima apenas com a informação P=800\\ \text{lb}. Faltam:
  • a posição da carga P ao longo do vão (ou o diagrama de carregamento completo) — isso é necessário para calcular o esforço cortante V na seção crítica;
  • a forma e dimensões da seção transversal da viga (por exemplo b e h para retângulo) — isso é necessário para aplicar \tau=\dfrac{VQ}{I t}.
Se quiser, me mande (sem eu precisar perguntar nada além do que já está no problema):
  • um desenho com distâncias (posição de P, comprimento L, localização da seção crítica) ou especifique a e L;
  • a forma e dimensões da seção transversal (por exemplo b e h para retângulo, ou diâmetro d para circular);
    que eu já calculo passo a passo e te dou a tensão numérica — faço as contas explicando cada etapa de forma bem didática.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a tensão de cisalhamento máxima: faltam a posição da carga ao longo da viga e as dimensões/forma da seção transversal (esses dados são necessários para calcular V e aplicar \tau=\dfrac{VQ}{I\,t}).

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