7.18 Se a força for
, qual será a tensão de cisalhamento máxima sobre a viga na seção crítica? Os apoios em
e
exercem apenas reações verticais.
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte:
- Dado: a força
. - Condição: os apoios em
e exercem apenas reações verticais. - Pergunta: qual será a tensão de cisalhamento máxima sobre a viga na seção crítica?
Informações que não foram fornecidas (e que são necessárias para um cálculo numérico):
- A geometria do problema (posição da carga
em relação aos apoios, comprimento do vão, se há outras cargas, localização da “seção crítica”). - A forma e dimensões da seção transversal da viga (por exemplo: retangular com largura
e altura , circular com diâmetro , seção em I, etc.). Essas dimensões são necessárias para calcular a tensão de cisalhamento a partir do esforço cortante.
Passo 2
O primeiro passo prático para achar a tensão de cisalhamento é determinar o esforço cortante interno
na seção crítica. Para isso usamos equilíbrio estático da viga inteira.
Como regra geral, para uma viga com um carregamento concentrado
em alguma posição e apoios em
e
(apoiada simplesmente), as reações verticais
e
são obtidas por:
onde:
-
é o vão total entre os apoios e , -
é a distância da carga até o apoio (então a distância até é ).
Resolvendo as equações (momento em
e soma vertical), obtém-se as reações:
Expliquei: peguei essas fórmulas do equilíbrio (somar momentos e forças). Sem saber
e
não dá para obter
e
numericamente.
Passo 3
Depois de obter as reações, o esforço cortante interno
em uma seção depende da posição da seção relativa às cargas. Para uma seção imediatamente à direita do apoio
(por exemplo), o valor de
é
(se não houver outras cargas entre
e a seção). Em geral, para uma seção entre
e a carga:
O valor absoluto máximo do esforço cortante costuma ocorrer próximo aos apoios ou imediatamente à esquerda/direita de uma carga concentrada — depende do tipo e localização das cargas. Para uma única carga concentrada
em vão simples, os valores máximos de
são
e
.
Portanto: para saber
preciso da posição da carga
(para calcular
e
).
Passo 4
A tensão de cisalhamento longitudinal (aquela que normalmente se pede: tensão de cisalhamento transversal na seção) é obtida pela fórmula de Vlasov / fórmula clássica de cisalhamento em vigas:
onde:
-
é o esforço cortante interno na seção (força transversa, em lb), -
é o primeiro momento de área da parte da seção cortada em relação ao eixo neutro até a fibra onde se calcula (unidade: distância vezes área), -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (unidade: comprimento^4), -
é a largura efetiva da seção na linha onde se mede a tensão (para retângulos, é a largura ; para perfis em I varia com a camada onde se avalia).
Explicando
de forma prática:
- Para calcular
numa linha a uma distância do eixo neutro (por exemplo para a fibra no centro), toma-se a área da parte da seção entre essa fibra e o limite extremo (normalmente a parte “acima” do eixo neutro) e calcula-se , sendo a distância do eixo neutro ao centróide da área .
Passo 5
Vou ilustrar como aplicar
para a seção mais comum em provas: seção retangular (largura
, altura
).
Para um retângulo:
- O eixo neutro horizontal fica no meio (distância
do topo). - Para a fibra de maior cisalhamento (normalmente no eixo neutro,
), escolhemos como a metade superior da seção: . - O centróide dessa metade fica a uma distância
do eixo neutro. - Logo
- O momento de inércia em relação ao eixo neutro é
- A largura
na linha neutra é .
Substituindo em
:
Portanto, para seção retangular a tensão de cisalhamento máxima ocorre no eixo neutro e vale
onde
é o esforço cortante interno na seção (por exemplo
ou
dependendo de onde está a seção). Note que aqui
é a largura da seção transversal e
sua altura.
Passo 6
Para outras formas de seção existem fórmulas análogas:
- Para seção circular sólida (raio
, área ) a tensão máxima vale
- Para perfis em I, T, etc., o procedimento é o mesmo (calcular
, e na posição desejada), mas a cálculo de e exige decompor a seção em retângulos e/ou usar tabelas.
Passo 7
Juntando tudo: se fosse uma viga biapoiada com uma carga concentrada
a uma distância
de
(
= vão total), então
O esforço cortante máximo será
(para essa configuração simples). Se a seção crítica for retangular com largura
e altura
, a tensão máxima correspondente seria
Observação: eu usei
— isso é pegar a maior das reações.
Passo 8
Não é possível fornecer um valor numérico para a tensão de cisalhamento máxima apenas com a informação
. Faltam:
- a posição da carga
ao longo do vão (ou o diagrama de carregamento completo) — isso é necessário para calcular o esforço cortante na seção crítica; - a forma e dimensões da seção transversal da viga (por exemplo
e para retângulo) — isso é necessário para aplicar .
Se quiser, me mande (sem eu precisar perguntar nada além do que já está no problema):
- um desenho com distâncias (posição de
, comprimento , localização da seção crítica) ou especifique e ; - a forma e dimensões da seção transversal (por exemplo
e para retângulo, ou diâmetro para circular);
que eu já calculo passo a passo e te dou a tensão numérica — faço as contas explicando cada etapa de forma bem didática.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a tensão de cisalhamento máxima: faltam a posição da carga ao longo da viga e as dimensões/forma da seção transversal (esses dados são necessários para calcular
e aplicar
).