5.57 O conjunto de aço A-36 consiste em um tubo com raio externo de 1 pol e espessura da parede de 0,125 pol. Por meio de uma chapa rígida em B, ele é acoplado ao eixo maciço A B de 1 pol de diâmetro. Determinar a rotação da extremidade C do tubo se um torque de 200 \mathrm{lb} \cdot \mathrm{pol} for aplicado nessa extremidade. A extremidade A do eixo tem apoio fixo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados fornecidos:
    • Tubo de aço A-36 com raio externo \,R_o=1\\ \text{pol}\, e espessura da parede \,t=0{,}125\\ \text{pol}\,.
    • Pelo enunciado o raio interno do tubo é \,R_i=R_o-t=1-0{,}125=0{,}875\\ \text{pol}\,.
    • Eixo maciço A\!B de diâmetro \,d=1\\ \text{pol}\, (logo raio R_{s}=0{,}5\\ \text{pol}).
    • Torque aplicado na extremidade C: \,T=200\\ \mathrm{lb\cdot pol}\,.
    • A extremidade A do eixo é fixa; em B há uma chapa rígida que acopla o tubo ao eixo (logo a torção aplicada em C é transmitida por toda a montagem).
    • Material: aço A-36 (usaremos o módulo de cisalhamento aproximado \,G\approx 11{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{psi}\,, já que o enunciado não dá G explicitamente).
  • O que é pedido:
    • Determinar a rotação (ângulo de torção) da extremidade C do tubo em relação à extremidade fixa A.
Observação importante (necessária): o enunciado como você enviou não indica os comprimentos (distâncias) dos trechos A\!B e B\!C. Esses comprimentos são essenciais para calcular a rotação, porque a fórmula da torção tem dependência linear em L. Portanto, não é possível fornecer um valor numérico final para a rotação sem conhecer os comprimentos L_{AB} e L_{BC} (ou o comprimento total e a posição de B). A resolução abaixo explicita a fórmula geral e calcula as propriedades geométricas necessárias; a obtenção do valor numérico final exige que sejam fornecidos L_{AB} e L_{BC} (ou a figura com esses comprimentos).

Passo 2

Conceito básico e fórmula fundamental (aula rápida de teoria):
  • Para um eixo circular submetido a um torque constante T, o ângulo de torção \theta ao longo de um trecho de comprimento L é dado por
\theta=\frac{T\,L}{G\,J},
onde:
  • \theta é o ângulo de torção em radianos;
  • T é o torque (unidades de força·comprimento, aqui \mathrm{lb\cdot pol});
  • G é o módulo de cisalhamento do material (unidades de força/área, aqui \mathrm{lb/in^2});
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (unidades \mathrm{in^4}).
  • Para eixos compostos (vários trechos em série), a rotação total entre as extremidades é a soma das rotações em cada trecho, porque os ângulos se somam:
\theta_{\text{total}}=\sum \frac{T_i L_i}{G J_i}.
No nosso caso o torque T é o mesmo em toda a seção (transmitido por torque estático), logo
\theta_{\text{total}}=\frac{T}{G}\left(\frac{L_{AB}}{J_{AB}}+\frac{L_{BC}}{J_{BC}}\right).

Passo 3

Fórmulas para J (momento polar) e cálculo das J das duas seções:
  • Para um eixo maciço circular de diâmetro d,
J_{\text{maciço}}=\frac{\pi d^{4}}{32}.ç
No nosso caso d=1\\ \text{pol}, portanto
J_{AB}= \frac{\pi (1)^{4}}{32}=\frac{\pi}{32}\\ \text{pol}^{4}\approx 0{,}09817477\\ \text{in}^{4}.
  • Para um tubo (seção circular oca) com raio externo R_o e interno R_i,
J_{\text{tubo}}=\frac{\pi}{2}\left(R_o^{4}-R_i^{4}\right)
(esta forma é equivalente a \dfrac{\pi}{32}(D_o^4-D_i^4) usando diâmetros).
Aqui R_o=1\\ \text{pol} e R_i=0{,}875\\ \text{pol}. Calculemos R_i^{4}:
R_i^{4}=(0{,}875)^{4}=0{,}586181640625.
Logo
J_{BC}=\frac{\pi}{2}\big(1^{4}-0{,}586181640625\big) =\frac{\pi}{2}\cdot 0{,}413818359375 \approx 0{,}64918\\ \text{in}^{4}.
Comentário físico rápido: repara que o tubo tem J bem maior que o eixo maciço de 1 pol de diâmetro porque o tubo tem raio externo maior (1 pol) — isto o torna mais resistente à torção por polegada de comprimento.

Passo 4

Substituindo os J e o valor de T, escrevemos a fórmula geral da rotação total:
\theta=\frac{T}{G}\left(\frac{L_{AB}}{J_{AB}}+\frac{L_{BC}}{J_{BC}}\right).
Agora substituímos os valores calculados de J_{AB} e J_{BC} e o torque T=200\\ \mathrm{lb\cdot pol}:
\theta=\frac{200}{G}\left(\frac{L_{AB}}{0{,}09817477}+\frac{L_{BC}}{0{,}64918}\right),
com \theta em radianos quando L_{AB} e L_{BC} estiverem em polegadas e G em \mathrm{lb/in^2}.
Se usamos o valor aproximado do módulo de cisalhamento para aço A-36,
G\approx 11{,}5\times 10^{6}\\ \mathrm{psi},
podemos calcular os coeficientes numéricos (ângulo por polegada de comprimento) para cada trecho:
  • Coeficiente para o trecho maciço AB:
\frac{200}{G\,J_{AB}}=\frac{200}{(11{,}5\times10^{6})\cdot 0{,}09817477}\approx 1{,}7717\times10^{-4}\\ \text{rad/in}.
  • Coeficiente para o trecho tubo BC:
\frac{200}{G\,J_{BC}}=\frac{200}{(11{,}5\times10^{6})\cdot 0{,}64918}\approx 2{,}6776\times10^{-5}\\ \text{rad/in}.
Portanto, em forma final prática,
\theta \approx \big(1{,}7717\times10^{-4}\big)L_{AB}+\big(2{,}6776\times10^{-5}\big)L_{BC}\quad\text{(radianos)},
com L_{AB} e L_{BC} em polegadas.

Passo 5

Interpretação e o que falta para um número final:
  • A expressão acima é a resposta geral. Para obter um valor numérico específico para \theta é necessário conhecer L_{AB} e L_{BC} (ou a figura que indique essas distâncias). Sem esses comprimentos não se pode dar um valor numérico definitivo.
  • Se você me fornecer L_{AB} e L_{BC} (ou a figura com escalas), eu substituo na expressão e entrego \theta em radianos e, se quiseres, também em graus. Forneci também os J numéricos e os coeficientes por polegada para facilitar cálculo rápido na prova.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a rotação sem os comprimentos L_{AB} e L_{BC} (não foram fornecidos). A rotação da extremidade C é dada pela fórmula
\theta=\frac{T}{G}\left(\frac{L_{AB}}{J_{AB}}+\frac{L_{BC}}{J_{BC}}\right)
com
J_{AB}=\frac{\pi}{32}\approx 0{,}09817477\\ \text{in}^4,\qquad J_{BC}=\frac{\pi}{2}\big(1^{4}-0{,}875^{4}\big)\approx 0{,}64918\\ \text{in}^4.
Usando G\approx 11{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{psi} e T=200\\ \mathrm{lb\cdot pol} obtém-se a forma prática
\theta \approx \big(1{,}7717\times10^{-4}\big)L_{AB}+\big(2{,}6776\times10^{-5}\big)L_{BC}\quad(\text{rad}),
com L_{AB} e L_{BC} em polegadas.

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