5.57 O conjunto de aço A-36 consiste em um tubo com raio externo de 1 pol e espessura da parede de 0,125 pol. Por meio de uma chapa rígida em
, ele é acoplado ao eixo maciço
de 1 pol de diâmetro. Determinar a rotação da extremidade
do tubo se um torque de
for aplicado nessa extremidade. A extremidade
do eixo tem apoio fixo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
-
Dados fornecidos:
- Tubo de aço A-36 com raio externo
e espessura da parede . - Pelo enunciado o raio interno do tubo é
. - Eixo maciço
de diâmetro (logo raio ). - Torque aplicado na extremidade
: . - A extremidade
do eixo é fixa; em há uma chapa rígida que acopla o tubo ao eixo (logo a torção aplicada em é transmitida por toda a montagem). - Material: aço A-36 (usaremos o módulo de cisalhamento aproximado
, já que o enunciado não dá explicitamente).
- Tubo de aço A-36 com raio externo
-
O que é pedido:
- Determinar a rotação (ângulo de torção) da extremidade
do tubo em relação à extremidade fixa .
- Determinar a rotação (ângulo de torção) da extremidade
Observação importante (necessária): o enunciado como você enviou não indica os comprimentos (distâncias) dos trechos
e
. Esses comprimentos são essenciais para calcular a rotação, porque a fórmula da torção tem dependência linear em
. Portanto, não é possível fornecer um valor numérico final para a rotação sem conhecer os comprimentos
e
(ou o comprimento total e a posição de
). A resolução abaixo explicita a fórmula geral e calcula as propriedades geométricas necessárias; a obtenção do valor numérico final exige que sejam fornecidos
e
(ou a figura com esses comprimentos).
Passo 2
Conceito básico e fórmula fundamental (aula rápida de teoria):
- Para um eixo circular submetido a um torque constante
, o ângulo de torção ao longo de um trecho de comprimento é dado por
onde:
-
é o ângulo de torção em radianos; -
é o torque (unidades de força·comprimento, aqui ); -
é o módulo de cisalhamento do material (unidades de força/área, aqui ); -
é o momento polar de inércia da seção transversal (unidades ). - Para eixos compostos (vários trechos em série), a rotação total entre as extremidades é a soma das rotações em cada trecho, porque os ângulos se somam:
No nosso caso o torque
é o mesmo em toda a seção (transmitido por torque estático), logo
Passo 3
Fórmulas para
(momento polar) e cálculo das
das duas seções:
- Para um eixo maciço circular de diâmetro
,
No nosso caso
, portanto
- Para um tubo (seção circular oca) com raio externo
e interno ,
(esta forma é equivalente a
usando diâmetros).
Aqui e
. Calculemos
:
Aqui
Logo
Comentário físico rápido: repara que o tubo tem
bem maior que o eixo maciço de 1 pol de diâmetro porque o tubo tem raio externo maior (1 pol) — isto o torna mais resistente à torção por polegada de comprimento.
Passo 4
Substituindo os
e o valor de
, escrevemos a fórmula geral da rotação total:
Agora substituímos os valores calculados de
e
e o torque
:
com
em radianos quando
e
estiverem em polegadas e
em
.
Se usamos o valor aproximado do módulo de cisalhamento para aço A-36,
podemos calcular os coeficientes numéricos (ângulo por polegada de comprimento) para cada trecho:
- Coeficiente para o trecho maciço
:
- Coeficiente para o trecho tubo
:
Portanto, em forma final prática,
com
e
em polegadas.
Passo 5
Interpretação e o que falta para um número final:
- A expressão acima é a resposta geral. Para obter um valor numérico específico para
é necessário conhecer e (ou a figura que indique essas distâncias). Sem esses comprimentos não se pode dar um valor numérico definitivo. - Se você me fornecer
e (ou a figura com escalas), eu substituo na expressão e entrego em radianos e, se quiseres, também em graus. Forneci também os numéricos e os coeficientes por polegada para facilitar cálculo rápido na prova.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a rotação sem os comprimentos
e
(não foram fornecidos). A rotação da extremidade
é dada pela fórmula
com
Usando
e
obtém-se a forma prática
com
e
em polegadas.