7.11 Se a força cortante aplicada for
kip, qual será a tensão de cisalhamento máxima no elemento?
Passo 1
O enunciado nos dá apenas uma informação explícita: a força cortante aplicada vale
. A pergunta é: qual será a tensão de cisalhamento máxima no elemento?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
.
Informações que faltam (e que normalmente são necessárias para obter um valor numérico de tensão de cisalhamento máxima):
- Geometria da seção transversal (por exemplo: retângular com largura
e altura ; circular com raio ; seção em I com espessuras das almas e abas; etc.). - Dimensões da seção transversal (valores numéricos de
, etc.). - Orientação do corte (onde na seção se quer a tensão máxima — normalmente é no eixo neutro para seções simples).
Sem essas informações geométricas não é possível dar um valor numérico único para a tensão de cisalhamento máxima.
Passo 2
Vou explicar a fórmula geral que se usa para calcular tensão de cisalhamento na seção de uma viga sujeita a força cortante: a fórmula de cisalhamento média e a fórmula geral de cisalhamento para distribuição não uniforme.
- Tensão média de cisalhamento: é a definição simples que às vezes aparece como referência:
onde:
-
é a tensão média de cisalhamento (unidade: força/área), -
é a força cortante aplicada (aqui ), -
é a área da seção transversal.
Essa é uma média; para muitas seções a tensão real não é uniforme e o máximo local é maior que
.
- Fórmula geral (mais precisa) — distribuição de cisalhamento em seções planas:
onde:
-
é a tensão de cisalhamento numa linha de corte a uma certa posição dentro da seção, -
é a força cortante aplicada, -
é o primeiro momento de área da parte da seção situada entre a borda (onde se mede) e a fibra neutra; em termos práticos, com medido a partir do eixo neutro até os elementos de área da porção acima (ou abaixo) da linha onde se calcula , -
é o momento de inércia da seção inteira em relação ao eixo neutro, -
é a espessura da seção na posição onde se calcula a tensão (por exemplo, a espessura da alma para vigas em I, ou a largura para um retângulo).
Essa fórmula é a chave: para obter
é preciso aplicar essa expressão e localizar a posição
que maximiza
.
Passo 3
Vou ensinar como aplicar a fórmula passo a passo para as duas seções mais comuns (retângulo e círculo sólido) e mostrar os resultados padrão que costumam aparecer em provas — assim, na hora da prova você já sabe qual fórmula usar dependendo da seção.
Caso A — seção retangular de largura
e altura
(eixo neutro no centro):
- Área:
. - Momento de inércia em relação ao eixo neutro horizontal:
. - Para retângulo, a máxima tensão de cisalhamento acontece no eixo neutro (centro) e a espessura relevante é
. O primeiro momento para a metade superior (desde o eixo neutro até a borda superior) vale: - Substituindo em
: Atenção: ao aplicar, a espessura é , então há um no denominador extra; simplificando: Mas note que houve uma duplicação de : a expressão correta (evitando confusão) é Simplificando: - Observação: como
, isso também se escreve Ou seja, para um retângulo a tensão máxima de cisalhamento é vezes a tensão média.
Caso B — seção circular sólida de raio
(ou diâmetro
):
- Área:
. - Para círculo sólido a distribuição de cisalhamento ao longo do raio é parabólica e a tensão máxima ocorre no centro. O resultado padrão (obtido pela aplicação da fórmula com integrais em coordenadas polares) é:
Ou seja, , ou ainda . - Esse fator
é específico do círculo sólido.
Passo 4
Breve comentário sobre seções gerais e vigas em I (para provas mais avançadas):
- Para seções compostas ou com alma e abas (viga em I), usa-se sempre a fórmula
calculando para a região acima (ou abaixo) da linha onde se deseja ; é a espessura local (por exemplo, espessura da alma). A tensão máxima tipicamente ocorre na alma, próxima ao eixo neutro. O procedimento passo a passo: - Determinar o eixo neutro e
da seção completa. - Escolher a linha onde quer a tensão (normalmente na superfície interna da alma no eixo neutro).
- Calcular
para a porção de área acima (ou abaixo) dessa linha. - Calcular
com .
- Determinar o eixo neutro e
- Portanto, com a geometria e dimensões da seção em mãos, esse procedimento dá a
.
Passo 5
Aplicando os resultados ao nosso
— escrevo as fórmulas prontas para usar na prova. Como não tenho a geometria, dou as fórmulas em que você só substitui os parâmetros da sua seção:
-
Seção retangular (
): Em termos da área: -
Seção circular sólida (
): -
Seção geral / I-beam:onde os termos
dependem da geometria completa.
Passo 6
Exemplo numérico ilustrativo (para você ver número final na prática). Isso é só um exemplo — como não deram
e
, escolho números quaisquer para mostrar como calcular. Suponha uma seção retangular com
e
:
-
. -
. - Calcule:
Outro exemplo: seção circular com raio
:
-
. -
Esses números só servem para treinamento. Na prova substitua as dimensões reais da sua seção.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
apenas com
; falta a geometria e dimensões da seção transversal. Fórmulas úteis (substituir as dimensões da seção):