7.11 Se a força cortante aplicada for V=18 kip, qual será a tensão de cisalhamento máxima no elemento?

Passo 1

O enunciado nos dá apenas uma informação explícita: a força cortante aplicada vale V=18\\ \text{kip}. A pergunta é: qual será a tensão de cisalhamento máxima no elemento?
Informações relevantes fornecidas:
  • V=18\\ \text{kip}.
Informações que faltam (e que normalmente são necessárias para obter um valor numérico de tensão de cisalhamento máxima):
  • Geometria da seção transversal (por exemplo: retângular com largura b e altura h; circular com raio r; seção em I com espessuras das almas e abas; etc.).
  • Dimensões da seção transversal (valores numéricos de b,h,r,t, etc.).
  • Orientação do corte (onde na seção se quer a tensão máxima — normalmente é no eixo neutro para seções simples).
    Sem essas informações geométricas não é possível dar um valor numérico único para a tensão de cisalhamento máxima.

Passo 2

Vou explicar a fórmula geral que se usa para calcular tensão de cisalhamento na seção de uma viga sujeita a força cortante: a fórmula de cisalhamento média e a fórmula geral de cisalhamento para distribuição não uniforme.
  1. Tensão média de cisalhamento: é a definição simples que às vezes aparece como referência:
\bar{\tau}=\frac{V}{A},
onde:
  • \bar{\tau} é a tensão média de cisalhamento (unidade: força/área),
  • V é a força cortante aplicada (aqui V=18\\ \text{kip}),
  • A é a área da seção transversal.
Essa é uma média; para muitas seções a tensão real não é uniforme e o máximo local é maior que \bar{\tau}.
  1. Fórmula geral (mais precisa) — distribuição de cisalhamento em seções planas:
\tau(x)=\frac{V\,Q(x)}{I\,t(x)},
onde:
  • \tau(x) é a tensão de cisalhamento numa linha de corte a uma certa posição x dentro da seção,
  • V é a força cortante aplicada,
  • Q(x) é o primeiro momento de área da parte da seção situada entre a borda (onde se mede) e a fibra neutra; em termos práticos, Q(x)=\int_{A'} y\,dA,com y medido a partir do eixo neutro até os elementos de área dA da porção A' acima (ou abaixo) da linha onde se calcula \tau,
  • I é o momento de inércia da seção inteira em relação ao eixo neutro,
  • t(x) é a espessura da seção na posição onde se calcula a tensão (por exemplo, a espessura da alma para vigas em I, ou a largura b para um retângulo).
Essa fórmula é a chave: para obter \tau_{\max} é preciso aplicar essa expressão e localizar a posição x que maximiza \tau(x).

Passo 3

Vou ensinar como aplicar a fórmula passo a passo para as duas seções mais comuns (retângulo e círculo sólido) e mostrar os resultados padrão que costumam aparecer em provas — assim, na hora da prova você já sabe qual fórmula usar dependendo da seção.
Caso A — seção retangular de largura b e altura h (eixo neutro no centro):
  • Área: A=b h.
  • Momento de inércia em relação ao eixo neutro horizontal: \displaystyle I=\frac{b h^{3}}{12}.
  • Para retângulo, a máxima tensão de cisalhamento acontece no eixo neutro (centro) e a espessura relevante é t=b. O primeiro momento Q para a metade superior (desde o eixo neutro até a borda superior) vale: Q=\int_{0}^{h/2} y\,b\,dy = b\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{h/2} = b\frac{(h/2)^{2}}{2} = b\frac{h^{2}}{8}.
  • Substituindo em \tau=\dfrac{VQ}{It}: \tau_{\max}=\frac{V\cdot\left(b\frac{h^{2}}{8}\right)}{\left(\dfrac{b h^{3}}{12}\right)\cdot b}Atenção: ao aplicar, a espessura t é b, então há um b no denominador extra; simplificando: \tau_{\max}=\frac{V\cdot \dfrac{b h^{2}}{8}}{\dfrac{b h^{3}}{12}\cdot b}Mas note que houve uma duplicação de b: a expressão correta (evitando confusão) é \tau_{\max}=\frac{V Q}{I\,t}=\frac{V\cdot\left(b\dfrac{h^{2}}{8}\right)}{\left(\dfrac{b h^{3}}{12}\right)\cdot b} = \frac{V\cdot \dfrac{h^{2}}{8}}{\dfrac{h^{3}}{12}\cdot b}Simplificando: \tau_{\max}=\frac{V}{b h}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3V}{2 b h}.
  • Observação: como A=b h, isso também se escreve \tau_{\max}=\frac{3}{2}\,\frac{V}{A}=1{,}5\;\bar{\tau}.Ou seja, para um retângulo a tensão máxima de cisalhamento é 1{,}5 vezes a tensão média.
Caso B — seção circular sólida de raio R (ou diâmetro D):
  • Área: A=\pi R^{2}.
  • Para círculo sólido a distribuição de cisalhamento ao longo do raio é parabólica e a tensão máxima ocorre no centro. O resultado padrão (obtido pela aplicação da fórmula com integrais em coordenadas polares) é: \tau_{\max}=\frac{4}{3}\,\frac{V}{A}.Ou seja, \tau_{\max}= \dfrac{4V}{3A}, ou ainda \tau_{\max}=\dfrac{4}{3}\bar{\tau}.
  • Esse fator 4/3 é específico do círculo sólido.

Passo 4

Breve comentário sobre seções gerais e vigas em I (para provas mais avançadas):
  • Para seções compostas ou com alma e abas (viga em I), usa-se sempre a fórmula \tau=\frac{VQ}{I t},calculando Q para a região acima (ou abaixo) da linha onde se deseja \tau; t é a espessura local (por exemplo, espessura da alma). A tensão máxima tipicamente ocorre na alma, próxima ao eixo neutro. O procedimento passo a passo:
    1. Determinar o eixo neutro e I da seção completa.
    2. Escolher a linha onde quer a tensão (normalmente na superfície interna da alma no eixo neutro).
    3. Calcular Q=\int_{A'} y\,dA para a porção de área acima (ou abaixo) dessa linha.
    4. Calcular \tau com \tau=VQ/(I t).
  • Portanto, com a geometria e dimensões da seção em mãos, esse procedimento dá a \tau_{\max}.

Passo 5

Aplicando os resultados ao nosso V=18\\ \text{kip} — escrevo as fórmulas prontas para usar na prova. Como não tenho a geometria, dou as fórmulas em que você só substitui os parâmetros da sua seção:
  • Seção retangular ( b,h):
    \tau_{\max}=\frac{3V}{2 b h}.
    Em termos da área A=b h:
    \tau_{\max}=\frac{3}{2}\frac{V}{A}.
  • Seção circular sólida ( A=\pi R^{2}):
    \tau_{\max}=\frac{4V}{3A}=\frac{4}{3}\frac{V}{\pi R^{2}}.
  • Seção geral / I-beam:
    \tau_{\max}=\max\limits_{x}\left(\frac{V\,Q(x)}{I\,t(x)}\right),
    onde os termos Q(x),I,t(x) dependem da geometria completa.

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (para você ver número final na prática). Isso é só um exemplo — como não deram b e h, escolho números quaisquer para mostrar como calcular. Suponha uma seção retangular com b=4\\ \text{in} e h=8\\ \text{in}:
  • A=b h=4\cdot 8=32\\ \text{in}^{2}.
  • \tau_{\max}=\dfrac{3V}{2 b h}=\dfrac{3\cdot 18}{2\cdot 4\cdot 8}\\ \text{kip/in}^{2}.
  • Calcule: \tau_{\max}=\frac{54}{64}\\ \text{kip/in}^{2}=0{,}84375\\ \text{kip/in}^{2}=0{,}84375\\ \text{ksi}.
Outro exemplo: seção circular com raio R=3\\ \text{in}:
  • A=\pi R^{2}\approx\pi\cdot 9\approx 28{,}274\\ \text{in}^{2}.
  • \tau_{\max}=\dfrac{4V}{3A}=\dfrac{4\cdot 18}{3\cdot 28{,}274}\\ \text{kip/in}^{2}\approx 0{,}8489\\ \text{ksi}.
Esses números só servem para treinamento. Na prova substitua as dimensões reais da sua seção.

Resposta

Não é possível determinar numericamente \tau_{\max} apenas com V=18\\ \text{kip}; falta a geometria e dimensões da seção transversal. Fórmulas úteis (substituir as dimensões da seção):
\text{Retângulo: }\qquad \tau_{\max}=\frac{3V}{2 b h}=\frac{3}{2}\frac{V}{A}.â
\text{Círculo sólido: }\qquad \tau_{\max}=\frac{4V}{3A}=\frac{4}{3}\frac{V}{\pi R^{2}}.íó
\text{Seção geral (viga em I etc.): }\qquad \tau(x)=\frac{V\,Q(x)}{I\,t(x)}\quad\text{e}\quad \tau_{\max}=\max_x\frac{V\,Q(x)}{I\,t(x)}.çã

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