(E2.18 pag 78) A função de transferência de um sistema é
Determinar
quando
for um degrau unitário de entrada.
Determinar
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede para determinar
quando a entrada
for um degrau unitário.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função de transferência entre saída e entrada é
. - A entrada é um degrau unitário
para .
Nada mais será decidido aqui — só listei o que temos e o que é pedido.
Passo 2
Conexão entre função de transferência e sinais no domínio de Laplace (passo conceitual):
Se temos a transformada de entrada e a função de transferência
, então a transformada da saída é
Se temos a transformada de entrada
Vou usar isso para obter
e depois voltar para o domínio do tempo pelo método inverso de Laplace.
Passo 3
Transformada de Laplace da entrada: um degrau unitário
tem transformada
válida para
. Portanto a transformada da saída é
Passo 4
Simplificar o denominador para facilitar a inversão: fatoro o polinômio quadrático
Procuro dois números que somem
e multipliquem
: são
e
. Logo
Portanto
Passo 5
Estratégia para inverter
: decomposição em frações parciais. Ideia: escrever
onde
são constantes a determinar. Isso é útil porque conhecemos as transformadas inversas de
e
.
Passo 6
Determinar
. Multiplico ambos os lados por
para limpar denominadores:
Usando o método “cover-up” (avaliar em raízes simples) fica fácil:
- Para
:
- Para
:
(Nota: cuidado com sinais;
dá
.)
- Para
:
Portanto
Passo 7
Escrevo a decomposição final de
:
Agora lembro as transformadas inversas básicas que vou usar:
-
(degrau unitário), -
para .
Aquidá decaimento exponencial .
Passo 8
Aplico a inversa de Laplace termo a termo:
Somando os termos:
Passo 9
Checagens rápidas (úteis na prova):
- Valor inicial
: , faz sentido se o sistema for causal e sem salto instantâneo. - Valor em regime permanente
: os termos exponenciais tendem a zero, logo (valor final do sistema para degrau unitário). Isso confirma consistência física.