(E2.4 pág 76) - Uma impressora utiliza um feixe de laser para imprimir rapidamente cópias para um computador. O laser é posicionado por um sinal de controle de entrada,
, tal que
A entrada
representa a posição desejada do feixe de laser.
(a) Determine a saída
quando
for um degrau unitário de entrada.
(b) Qual o valor final de
?
(a) Determine a saída
(b) Qual o valor final de
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência entre entrada e saída no domínio de Laplace:
A entrada
é um degrau unitário. As perguntas são:
- (a) Determinar
quando é o degrau unitário. - (b) Determinar o valor final de
, isto é .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Vamos escrever
substituindo
:
Para inverter a transformada de Laplace, vamos fatorar o denominador quadrático.
Passo 3
Fatoramos
. Calculamos o discriminante:
logo
. As raízes são
Portanto
Assim podemos reescrever
Passo 4
Fazemos frações parciais no formato
Multiplicando por
obtemos a identidade
Usamos o método de Heaviside: avaliamos em
.
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Verificação rápida (opcional): os valores
,
,
satisfazem a identidade.
Logo
Passo 5
Agora fazemos a transformada inversa termo a termo. Lembrete de pares da transformada de Laplace:
-
. -
.
Aplicando inversa:
Explicando de forma didática: o primeiro termo
vem da parte
(resposta constante ao degrau). Os outros dois termos são exponenciais decrescentes com constantes de tempo
e
; ambos tendem a zero quando
, o que mostra que a saída estaciona em um valor constante.
Passo 6
Agora o valor final. Pelo resultado do passo anterior, tomando limite
:
Como checagem alternativa, podemos usar o Teorema do Valor Final: se
existe e
não tem pólos no semiplano direito, então
o mesmo resultado, confirmando consistência.
Resposta
(a)
(b)
(b)