O que é pedido: determinar se a transformação é linear (e, como é comum em provas, caracterizá-la com a matriz associada, núcleo e imagem, e verificar se é invertível).
Lista das informações relevantes fornecidas:
A equação linear que define W é \,x+2y-z=0\,.
A transformação T está explicitada nas componentes em função de x,y,z.
Passo 2
Identificar uma descrição paramétrica de W (para achar uma base).
A equação de W é
x+2y-z=0.
Vou isolar z em função de x e y:
z = x+2y.
Isso mostra que um vetor arbitrário de W tem a forma
(x,y,z)=(x,y,x+2y)=x(1,0,1)+y(0,1,2).
Logo todo vetor de W é combinação linear dos vetores (1,0,1) e (0,1,2).
Passo 3
Concluir a parte (a) e (b) a partir da parametrização.
a) Uma base natural é o conjunto dos vetores que aparecem como coeficientes da parametrização:
\{(1,0,1),\;(0,1,2)\}.
Preciso verificar que esses vetores são linearmente independentes. Suponha que
\alpha(1,0,1)+\beta(0,1,2)=(0,0,0).
Isso dá o sistema \alpha=0,\\ \beta=0. Portanto são independentes e formam uma base de W.
b) Como a base tem 2 vetores, a dimensão de W é
\dim W=2.
Passo 4
Explicar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal a partir da base encontrada.
Gram–Schmidt toma uma família linearmente independente \{v_1,v_2,\dots\} e produz vetores ortogonais w_1,w_2,\dots por:
Depois normaliza-se cada w_i por u_i=\dfrac{w_i}{\|w_i\|} para obter uma base ortonormal \{u_1,u_2,\dots\}.
Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto escalar usual em \mathbb{R}^3 e \|\cdot\| a norma associada.
Passo 5
Aplicar Gram–Schmidt aos vetores v_1=(1,0,1) e v_2=(0,1,2).
Os vetores u_1 e u_2 são ortonormais por construção (cada um de norma 1 e o produto escalar entre eles é 0; pode-se verificar isso usando \langle u_1,u_2\rangle=0).
Passo 7
Passando para a transformação T: mostrar que ela é linear e encontrar a matriz associada.
Para ver linearidade é prático encontrar a matriz A tal que T(v)=A v (com vetores escritos em coordenadas coluna na base canônica). Calculo T aplicado aos vetores da base canônica:
T(1,0,0)= (1+0,\\\ 0+0,\\\ 1+0)=(1,0,1),
T(0,1,0)= (0+1,\\\ 1+0,\\\ 0+0)=(1,1,0),
T(0,0,1)= (0+0,\\\ 0+1,\\\ 0+1)=(0,1,1).
Colocando essas imagens como colunas, a matriz de T na base canônica é
Qualquer transformação dada por multiplicação por uma matriz é linear, logo T é linear.]
Passo 8
Determinar o núcleo de T\) (soluções de \(T(x,y,z)=(0,0,0)\)).
O sistema \(T(x,y,z)=(0,0,0)\) equivale a:
\[\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] y+z=0,\\[4pt] x+z=0. \end{cases}
Da primeira equação x=-y\]. Da segunda \(z=-y. Substituindo na terceira dá -y+(-y)= -2y=0, logo y=0. Assim x=0 e z=0. Portanto o núcleo é apenas o vetor nulo:
\ker T=\{(0,0,0)\}.
Como o núcleo é trivial, T é injetora.]
Passo 9
Determinar a imagem e se T é sobrejetora/invertível.
Pela igualdade do Teorema da Dimensão (Teorema do Núcleo e Imagem) tem-se
\dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T = 3.
Já vimos \dim\ker T=0, portanto \dim\operatorname{Im}T=3. Assim a imagem tem dimensão 3, ou seja \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3. Logo T é sobrejetora também.
Outra verificação direta: calculo o determinante da matriz A para testar invertibilidade:
\det A = 1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots) =1\cdot(1\cdot1-1\cdot0)-1\cdot(0\cdot1-1\cdot1)=1-(-1)=2.
Como \det A=2\neq 0, a matriz é invertível, o que confirma que T é um isomorfismo (linear, bijetora) de \mathbb{R}^3.]
Resposta
a) \{(1,0,1),\,(0,1,2)\}
b) \dim W=2
c) Uma base ortonormal de W é \displaystyle\left\{\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},0,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right),\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\right\}
T: é linear; matriz associada A=\begin{pmatrix}1&1&0\\[4pt]0&1&1\\[4pt]1&0&1\end{pmatrix}; \ker T=\{(0,0,0)\}; \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3; \det A=2\neq0 (portanto T é invertível).]