Exercício 2.11 Provar que o limite
  1. \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}}\left(x^{2}+y^{4}+4\right); existe e é L=4.

Passo 1

O enunciado pede: provar que o limite
\lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}}\left(x^{2}+y^{4}+4\right)
existe e é L=4.
Informações relevantes dadas:
  • A função cuja suspensão do limite devemos provar é f(x,y)=x^{2}+y^{4}+4.
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
  • A tarefa é mostrar, com rigor, que o valor do limite é 4.

Passo 2

O que significa provar esse limite (definição formal, explicada devagar).
  • A definição de limite em duas variáveis: dizer que
\lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} f(x,y)=L
significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, tem-se |f(x,y)-L|<\varepsilon.
Vou usar essa definição para dar um argumento rigoroso (epsilon-delta). Antes, uma observação de intuição: se x\to0 então x^{2}\to0; se y\to0 então y^{4}\to0. Assim x^{2}+y^{4}\to0 e, somando 4, espera-se que o limite seja 4. Agora o rigor.

Passo 3

Preparar a desigualdade que precisamos controlar.
  • Queremos mostrar que |f(x,y)-4|<\varepsilon para pontos suficientemente próximos de (0,0).
  • Calculemos a diferença:
|f(x,y)-4| = \left|x^{2}+y^{4}+4-4\right| = \left|x^{2}+y^{4}\right|.
  • Como x^{2}\ge 0 e y^{4}\ge 0, temos
\left|x^{2}+y^{4}\right| = x^{2}+y^{4}.
Então precisamos garantir x^{2}+y^{4}<\varepsilon quando (x,y) estiver suficientemente perto de (0,0).

Passo 4

Escolher uma relação entre \delta e \varepsilon que funcione (estratégia prática).
  • Uma técnica padrão é forçar |x|<\delta e |y|<\delta. Então x^{2}\le \delta^{2} e y^{4}\le \delta^{4}.
  • Para simplificar o controle de \delta^{2}+\delta^{4}, imponho também \delta\le 1. Assim, se 0<\delta\le 1 então \delta^{4}\le\delta^{2} (porque elevar um número em (0,1] à quarta potência torna-o menor ou igual à sua quadrada).
  • Assim, sob 0<\delta\le 1,
x^{2}+y^{4}\le \delta^{2}+\delta^{4}\le \delta^{2}+\delta^{2}=2\delta^{2}.
  • Para garantir x^{2}+y^{4}<\varepsilon é suficiente garantir 2\delta^{2}<\varepsilon, ou seja
\delta^{2}<\frac{\varepsilon}{2}.
  • Logo uma escolha conveniente é
\delta=\min\left(1,\sqrt{\frac{\varepsilon}{2}}\right).

Passo 5

Fazer a prova epsilon-delta completa e clara.
Seja \varepsilon>0 arbitrário. Defina
\delta=\min\left(1,\sqrt{\frac{\varepsilon}{2}}\right).
Considere qualquer (x,y) com 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta. Então |x|<\delta e |y|<\delta. Como \delta\le 1 temos \delta^{4}\le\delta^{2}. Portanto
|f(x,y)-4| = x^{2}+y^{4} \le \delta^{2}+\delta^{4} \le 2\delta^{2}.
Pelo modo como escolhemos \delta, tem-se \delta^{2}\le \varepsilon/2, então
|f(x,y)-4| \le 2\delta^{2} \le 2\cdot\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
Isso mostra que, para este \delta, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta segue |f(x,y)-4|<\varepsilon. Pela definição, o limite existe e é 4.

Passo 6

Outra visão (mais curta) e por que ela é válida — continuidade.
  • Observação prática: f(x,y)=x^{2}+y^{4}+4 é soma de monômios em x e y e uma constante. Funções polinomiais em variáveis reais são contínuas em todo ponto.
  • Para uma função contínua em (0,0), vale diretamente
\lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} f(x,y)=f(0,0).
  • Como f(0,0)=0^{2}+0^{4}+4=4, segue imediatamente que o limite é 4.
  • A prova epsilon-delta acima valida rigorosamente essa propriedade no caso concreto.

Resposta

L=4

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