A função cuja suspensão do limite devemos provar é f(x,y)=x^{2}+y^{4}+4.
O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
A tarefa é mostrar, com rigor, que o valor do limite é 4.
Passo 2
O que significa provar esse limite (definição formal, explicada devagar).
A definição de limite em duas variáveis: dizer que
\lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} f(x,y)=L
significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, tem-se |f(x,y)-L|<\varepsilon.
Vou usar essa definição para dar um argumento rigoroso (epsilon-delta). Antes, uma observação de intuição: se x\to0 então x^{2}\to0; se y\to0 então y^{4}\to0. Assim x^{2}+y^{4}\to0 e, somando 4, espera-se que o limite seja 4. Agora o rigor.
Passo 3
Preparar a desigualdade que precisamos controlar.
Queremos mostrar que |f(x,y)-4|<\varepsilon para pontos suficientemente próximos de (0,0).
Então precisamos garantir x^{2}+y^{4}<\varepsilon quando (x,y) estiver suficientemente perto de (0,0).
Passo 4
Escolher uma relação entre \delta e \varepsilon que funcione (estratégia prática).
Uma técnica padrão é forçar |x|<\delta e |y|<\delta. Então x^{2}\le \delta^{2} e y^{4}\le \delta^{4}.
Para simplificar o controle de \delta^{2}+\delta^{4}, imponho também \delta\le 1. Assim, se 0<\delta\le 1 então \delta^{4}\le\delta^{2} (porque elevar um número em (0,1] à quarta potência torna-o menor ou igual à sua quadrada).
Isso mostra que, para este \delta, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta segue |f(x,y)-4|<\varepsilon. Pela definição, o limite existe e é 4.
Passo 6
Outra visão (mais curta) e por que ela é válida — continuidade.
Observação prática: f(x,y)=x^{2}+y^{4}+4 é soma de monômios em x e y e uma constante. Funções polinomiais em variáveis reais são contínuas em todo ponto.
Para uma função contínua em (0,0), vale diretamente
\lim_{\substack{x\to 0\\\ y\to 0}} f(x,y)=f(0,0).
Como f(0,0)=0^{2}+0^{4}+4=4, segue imediatamente que o limite é 4.
A prova epsilon-delta acima valida rigorosamente essa propriedade no caso concreto.