(18pts) Calcule as integrais
\int \frac{e^{2 x}}{4+e^{x}} d x \quad \int \frac{x \operatorname{sen}(x) \cos (x)}{3} d x \quad \int \frac{x^{2}+5}{x^{2}-5 x+6} d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos as três antiderivadas abaixo (cada uma é uma integral indefinida). Vou listar exatamente o que foi dado e o que é pedido:
\int \frac{e^{2 x}}{4+e^{x}}\,dx
\int \frac{x \operatorname{sen}(x) \cos (x)}{3}\,dx
\int \frac{x^{2}+5}{x^{2}-5 x+6}\,dx
Ou seja: para cada uma delas devemos encontrar uma função primitiva (uma família de antiderivadas) — isto é, uma expressão cuja derivada seja o integrando — adicionando a constante de integração C.

Passo 2

Resolvendo a primeira integral.
Primeiro reescrevo o integrando de forma a enxergar uma substituição simples:
\frac{e^{2x}}{4+e^{x}}=\frac{e^{x}\cdot e^{x}}{4+e^{x}}.
Agora faço a substituição clássica para exponenciais:
u=e^{x}\quad\Rightarrow\quad du=e^{x}\,dx.
Explicando: u é a nova variável, du é a diferencial; a igualdade du=e^{x}\,dx vem de derivar u=e^{x}. Com isso o elemento e^{x}\,dx do integrando vira simplesmente du.
Substituindo na integral:
\int \frac{e^{2x}}{4+e^{x}}\,dx=\int \frac{u}{4+u}\,du.
Agora simplifico a fração \dfrac{u}{4+u}. Faço uma divisão algébrica:
\frac{u}{4+u}=1-\frac{4}{4+u},
porque u=(4+u)-4. Assim
\int \frac{u}{4+u}\,du=\int 1\,du -4\int \frac{1}{4+u}\,du.
Integro termo a termo. Lembre que \int 1\,du = u e \int \frac{1}{4+u}\,du=\ln|4+u| (a integral de 1/(a+u) é \ln|a+u|):
u -4\ln|4+u| + C.
Volto à variável original x usando u=e^{x}:
\boxed{e^{x}-4\ln\!\bigl(4+e^{x}\bigr)+C.}

Passo 3

Resolvendo a segunda integral.
A integral é
\int \frac{x \operatorname{sen}(x)\cos(x)}{3}\,dx.
Primeiro fator constante para fora:
\frac{1}{3}\int x\sin x\cos x\,dx.
(Estou usando \sin no lugar de \operatorname{sen}, que é o mesmo seno.)
Uso a identidade trigonométrica útil:
\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin(2x).
Explicando: é uma fórmula padrão de ângulo duplo: \sin(2x)=2\sin x\cos x.
Com isso:
\frac{1}{3}\int x\sin x\cos x\,dx=\frac{1}{3}\int x\cdot\frac{1}{2}\sin(2x)\,dx=\frac{1}{6}\int x\sin(2x)\,dx.
Agora uso integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde escolhemos funções u e dv. Aqui escolho
u = x \quad\Rightarrow\quad du = dx,
dv = \sin(2x)\,dx \quad\Rightarrow\quad v = \int \sin(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x).
(Para obter v integro \sin(2x); a primitiva é -\frac{1}{2}\cos(2x) porque derivando -\frac{1}{2}\cos(2x) \sin(2x).)
Aplicando a fórmula:
\int x\sin(2x)\,dx = x\cdot\Big(-\frac{1}{2}\cos(2x)\Big) - \int \Big(-\frac{1}{2}\cos(2x)\Big)\,dx.
Isto é
= -\frac{x}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2}\int \cos(2x)\,dx.
A integral \int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x). Então
\int x\sin(2x)\,dx = -\frac{x}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin(2x) = -\frac{x}{2}\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x).
Lembrando do fator \dfrac{1}{6} que estava fora:
\frac{1}{6}\int x\sin(2x)\,dx = \frac{1}{6}\left(-\frac{x}{2}\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x)\right).
Multiplico os fatores:
-\frac{x}{12}\cos(2x) + \frac{1}{24}\sin(2x) + C.
Portanto uma antiderivada é
\boxed{-\frac{x}{12}\cos(2x) + \frac{1}{24}\sin(2x) + C.}
(Se quiser, pode reescrever \sin(2x) como 2\sin x\cos x, mas a forma com 2x é mais curta.)

Passo 4

Resolvendo a terceira integral.
A integral é
\int \frac{x^{2}+5}{x^{2}-5x+6}\,dx.
Primeiro observo o denominador: ele fatoriza (é um polinômio quadrático simples):
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Antes de fazer frações parciais, noto que o numerador tem o mesmo grau do denominador (ambos grau 2). Então faço divisão polinomial simples (ou apenas subtraio a mesma expressão) para escrever a fração como soma de um polinômio e uma fração própria.
Faço
\frac{x^{2}+5}{x^{2}-5x+6}=1+\frac{(x^{2}+5)-(x^{2}-5x+6)}{x^{2}-5x+6}=1+\frac{5x-1}{x^{2}-5x+6}.
Explicando: subtraí o denominador do numerador para separar a parte inteira [1).
Agora trato a fração própria \dfrac{5x-1}{(x-2)(x-3)} por frações parciais:
\frac{5x-1}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}.
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x-3) obtenho a identidade polinomial
5x-1 = A(x-3)+B(x-2) = (A+B)x + (-3A-2B).
Comparando coeficientes do polinômio no lado direito com o lado esquerdo dá o sistema linear
\begin{cases} A+B = 5,\\[4pt] -3A-2B = -1. \end{cases}
Resolvo: de B=5-A\]. Substituo: \[-3A-2(5-A)=-1 \Rightarrow -3A-10+2A=-1 \Rightarrow -A=9 \Rightarrow A=-9.\] Então \(B=5-(-9)=14.
Portanto
\frac{5x-1}{(x-2)(x-3)}=\frac{-9}{x-2}+\frac{14}{x-3}.
Volto à integral inicial, que era \int\bigl(1 + \frac{5x-1}{(x-2)(x-3)}\bigr)\,dx. Substituindo:
\int \frac{x^{2}+5}{x^{2}-5x+6}\,dx = \int 1\,dx -9\int \frac{1}{x-2}\,dx +14\int \frac{1}{x-3}\,dx.
Integro termo a termo:
x -9\ln|x-2| +14\ln|x-3| + C.
Assim uma primitiva é
\boxed{x -9\ln|x-2| +14\ln|x-3| + C.}]

Resposta

e^{x}-4\ln\!\bigl(4+e^{x}\bigr)+C
-\dfrac{x}{12}\cos(2x)+\dfrac{1}{24}\sin(2x)+C
x -9\ln|x-2| +14\ln|x-3| + C

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