(18pts) Calcule as integrais
Passo 1
O enunciado pede que calculemos as três antiderivadas abaixo (cada uma é uma integral indefinida). Vou listar exatamente o que foi dado e o que é pedido:
Ou seja: para cada uma delas devemos encontrar uma função primitiva (uma família de antiderivadas) — isto é, uma expressão cuja derivada seja o integrando — adicionando a constante de integração
.
Passo 2
Resolvendo a primeira integral.
Primeiro reescrevo o integrando de forma a enxergar uma substituição simples:
Agora faço a substituição clássica para exponenciais:
Explicando:
é a nova variável,
é a diferencial; a igualdade
vem de derivar
. Com isso o elemento
do integrando vira simplesmente
.
Substituindo na integral:
Agora simplifico a fração
. Faço uma divisão algébrica:
porque
. Assim
Integro termo a termo. Lembre que
e
(a integral de
é
):
Volto à variável original
usando
:
Passo 3
Resolvendo a segunda integral.
A integral é
Primeiro fator constante para fora:
(Estou usando
no lugar de
, que é o mesmo seno.)
Uso a identidade trigonométrica útil:
Explicando: é uma fórmula padrão de ângulo duplo:
.
Com isso:
Agora uso integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde escolhemos funções
e
. Aqui escolho
(Para obter
integro
; a primitiva é
porque derivando
dá
.)
Aplicando a fórmula:
Isto é
A integral
. Então
Lembrando do fator
que estava fora:
Multiplico os fatores:
Portanto uma antiderivada é
(Se quiser, pode reescrever
como
, mas a forma com
é mais curta.)
Passo 4
Resolvendo a terceira integral.
A integral é
Primeiro observo o denominador: ele fatoriza (é um polinômio quadrático simples):
Antes de fazer frações parciais, noto que o numerador tem o mesmo grau do denominador (ambos grau 2). Então faço divisão polinomial simples (ou apenas subtraio a mesma expressão) para escrever a fração como soma de um polinômio e uma fração própria.
Faço
Explicando: subtraí o denominador do numerador para separar a parte inteira [1).
Agora trato a fração própria
por frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
obtenho a identidade polinomial
Comparando coeficientes do polinômio no lado direito com o lado esquerdo dá o sistema linear
Resolvo: de
.
Portanto
Volto à integral inicial, que era
. Substituindo:
Integro termo a termo:
Assim uma primitiva é