(6pts) Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{1+x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral impropria
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{1+x}}\,dx,
ou mostrar que ela é divergente. Informações relevantes dadas:
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{1+x}}=(1+x)^{-1/3}.
  • O intervalo de integração é [0,\infty), portanto a impropriedade vem do limite superior infinito ( +\infty). Em x=0 a função vale (1+0)^{-1/3}=1, finito, logo não há impropriedade em 0.
  • Precisamos verificar se a integral no intervalo não limitado converge (tem valor finito) ou diverge (vai para infinito).

Passo 2

Vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de f(x)=(1+x)^{-1/3}. Técnica: substituição simples e regra da potência.
  • Faça a substituição u=1+x. Então du=dx. Isso apenas simplifica a expressão, porque integrando em x temos a mesma integral em u.
  • A integral indefinida fica
\int (1+x)^{-1/3}\,dx = \int u^{-1/3}\,du.
Agora aplicamos a regra da potência: se a\neq -1, então
\int u^{a}\,du = \frac{u^{a+1}}{a+1}+C.
Aqui a=-\tfrac{1}{3}, então a+1=\tfrac{2}{3}\neq -1, podemos aplicar.

Passo 3

Aplicando a regra da potência com a=-\tfrac{1}{3} obtemos a primitiva:
\int u^{-1/3}\,du = \frac{u^{2/3}}{2/3}+C = \frac{3}{2}\,u^{2/3}+C.
Voltando para x (pois u=1+x), uma primitiva de f é
F(x)=\frac{3}{2}(1+x)^{2/3}+C.
Expliquei: u^{2/3} significa (1+x)^{2/3} e a constante C é a constante de integração.

Passo 4

Agora calculemos a integral definida imprópria como limite:
\int_{0}^{\infty} (1+x)^{-1/3}\,dx = \lim_{t\to\infty}\int_{0}^{t} (1+x)^{-1/3}\,dx = \lim_{t\to\infty}\Big[ \frac{3}{2}(1+x)^{2/3}\Big]_{x=0}^{x=t}.
Avalie a expressão:
\int_{0}^{t} (1+x)^{-1/3}\,dx = \frac{3}{2}\big((1+t)^{2/3}-(1+0)^{2/3}\big) = \frac{3}{2}\big((1+t)^{2/3}-1\big).

Passo 5

Tomamos o limite quando t\to\infty:
\lim_{t\to\infty}\frac{3}{2}\big((1+t)^{2/3}-1\big).
Como (1+t)^{2/3}\to\infty quando t\to\infty, o termo acima tende a +\infty. Portanto a integral impropria diverge (vai para infinito). (Se quiser, dá para ver intuitivamente: para grandes x temos (1+x)^{-1/3}\sim x^{-1/3} e a integral de x^{-1/3} no infinito diverge porque o expoente 1/3 é menor que 1.)

Resposta

A integral diverge para +\infty.

Exercícios relacionados