(6pts) Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral impropria
ou mostrar que ela é divergente. Informações relevantes dadas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
, portanto a impropriedade vem do limite superior infinito ( ). Em a função vale , finito, logo não há impropriedade em . - Precisamos verificar se a integral no intervalo não limitado converge (tem valor finito) ou diverge (vai para infinito).
Passo 2
Vamos encontrar uma primitiva (antiderivada) de
. Técnica: substituição simples e regra da potência.
- Faça a substituição
. Então . Isso apenas simplifica a expressão, porque integrando em temos a mesma integral em . - A integral indefinida fica
Agora aplicamos a regra da potência: se
, então
Aqui
, então
, podemos aplicar.
Passo 3
Aplicando a regra da potência com
obtemos a primitiva:
Voltando para
(pois
), uma primitiva de
é
Expliquei:
significa
e a constante
é a constante de integração.
Passo 4
Agora calculemos a integral definida imprópria como limite:
Avalie a expressão:
Passo 5
Tomamos o limite quando
:
Como
quando
, o termo acima tende a
. Portanto a integral impropria diverge (vai para infinito). (Se quiser, dá para ver intuitivamente: para grandes
temos
e a integral de
no infinito diverge porque o expoente
é menor que
.)
Resposta
A integral diverge para
.