19.22 Duas molas de constantes k_{1} e k_{2} estão unidas em série a um bloco A que vibra em movimento harmônico simples com um período de 5 s. Quando as duas mesmas molas são unidas em paralelo ao mesmo bloco, este vibra com um período de 2 s . Determine a razão k_{1} / k_{2} das duas constantes de mola.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m preso a duas molas de constantes k_{1} e k_{2}.
Quando as molas estão em série, o sistema dá um período de vibração T_{s}=5\:\text{s};
quando estão em paralelo, o período é T_{p}=2\:\text{s}.
Para resolver precisamos de:
– a constante equivalente em série \displaystyle k_{s}=\frac{k_{1}k_{2}}{k_{1}+k_{2}};
– a constante equivalente em paralelo \displaystyle k_{p}=k_{1}+k_{2};
– a fórmula do período de um MH simples \displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{\text{eq}}}}.

Passo 2

Expressamos o período em série:
T_{s}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{s}}} \quad\Longrightarrow\quad T_{s}^{2} =4\pi^{2}\,\frac{m}{k_{s}} \quad\Longrightarrow\quad m=\frac{k_{s}\,T_{s}^{2}}{4\pi^{2}}.

Passo 3

Expressamos o período em paralelo:
T_{p}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{p}}} \quad\Longrightarrow\quad T_{p}^{2} =4\pi^{2}\,\frac{m}{k_{p}} \quad\Longrightarrow\quad m=\frac{k_{p}\,T_{p}^{2}}{4\pi^{2}}.

Passo 4

Como é a mesma massa m, igualamos as duas expressões:
\frac{k_{s}\,T_{s}^{2}}{4\pi^{2}} = \frac{k_{p}\,T_{p}^{2}}{4\pi^{2}} \quad\Longrightarrow\quad k_{s}\,T_{s}^{2}=k_{p}\,T_{p}^{2}.
Substituindo k_{s}=\dfrac{k_{1}k_{2}}{k_{1}+k_{2}} e k_{p}=k_{1}+k_{2} e T_{s}=5, T_{p}=2:
\frac{k_{1}k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\;25 =(k_{1}+k_{2})\;4 \quad\Longrightarrow\quad 25\,k_{1}k_{2}=4\,(k_{1}+k_{2})^{2}.

Passo 5

Definimos \displaystyle r=\frac{k_{1}}{k_{2}}, então k_{1}=r\,k_{2}.
Substituindo em 25\,k_{1}k_{2}=4\,(k_{1}+k_{2})^{2} e dividindo por k_{2}^{2}:
25\,r =4\,(r+1)^{2} \quad\Longrightarrow\quad 4r^{2}+8r+4-25r=0 \quad\Longrightarrow\quad 4r^{2}-17r+4=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{17\pm\sqrt{17^{2}-4\cdot4\cdot4}}{2\cdot4} =\frac{17\pm\sqrt{225}}{8} =\frac{17\pm15}{8} \;\Longrightarrow\; r=4\quad\text{ou}\quad r=\tfrac14.

Resposta

\displaystyle \frac{k_{1}}{k_{2}}=4 ou \displaystyle \frac{k_{1}}{k_{2}}=\tfrac14.

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