Sabendo que a força de 5 kgf gera um momento em \mathrm{A} \mathbf{M}_{A}=-288 \mathbf{k} \mathrm{kgfcm}, determine o ângulo \alpha. Dica: trabalhe com as projeções da força de 5 kgf nas direções horizontal e vertical.

Passo 1

O enunciado diz que uma força de 5\\ \mathrm{kgf} aplicada em B produz em A o momento
M_A=-288\\ \mathrm{k\,kgf\cdot cm}
e pede o ângulo \alpha que essa força faz com a horizontal. Vamos usar decomposição em projeções horizontal e vertical e a definição de momento plano
M_A = x\,F_y - y\,F_x,
onde (x,y) são as coordenadas de B em relação a A.

Passo 2

As coordenadas de B em relação a A são
x = 20{,}00\\ \mathrm{cm}, \quad y = 55{,}00\\ \mathrm{cm}.
A força de 5\\ \mathrm{kgf} em B forma o ângulo \alpha com a horizontal, apontando para baixo e para a direita. Logo suas componentes são
F_x = 5\cos\alpha, \quad F_y = -\,5\sin\alpha.

Passo 3

Substituindo em
M_A = x\,F_y - y\,F_x
temos
M_A = 20\bigl(-5\sin\alpha\bigr)\;-\;55\bigl(5\cos\alpha\bigr) = -100\sin\alpha \;-\;275\cos\alpha.
Como M_A=-288, a equação fica
-100\sin\alpha -275\cos\alpha = -288 \quad\Longrightarrow\quad 100\sin\alpha +275\cos\alpha = 288.

Passo 4

Para resolver
100\sin\alpha +275\cos\alpha = 288
escrevemos
R = \sqrt{100^2 + 275^2} = 292{,}64, \quad \delta = \arctan\!\Bigl(\tfrac{275}{100}\Bigr)=70{,}18^\circ,
de modo que
100\sin\alpha +275\cos\alpha = R\sin(\alpha+\delta) = 292{,}64\,\sin(\alpha+70{,}18^\circ).
Logo
\sin(\alpha+70{,}18^\circ) = \frac{288}{292{,}64} \approx 0{,}9842.
Isso produz duas soluções no intervalo [0,180^\circ]:
\alpha+70{,}18^\circ = 80{,}27^\circ \quad\Longrightarrow\quad \alpha=10{,}09^\circ,
\alpha+70{,}18^\circ = 99{,}73^\circ \quad\Longrightarrow\quad \alpha=29{,}55^\circ.

Passo 5

Como a figura sugere um ângulo relativamente acentuado mas ainda agudo, escolhemos a solução
\alpha \approx 29{,}6^\circ.

Resposta

\displaystyle \alpha \approx 29{,}6^\circ

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