Exercício 1: Determinar as tensões principais, e suas respectivas direções, conhecidas as seguintes componentes de tensão para um estado plano: \sigma x=8 \mathrm{kN} / \mathrm{cm}^{2}, \sigma \mathrm{y}=2 \mathrm{kN} / \mathrm{cm}^{2} e \tau \mathrm{xy}=4 \mathrm{kN} / \mathrm{cm}^{2} .\left(\right. Resp: \sigma 1=10 \mathrm{kN} / \mathrm{cm}^{2}, \sigma 2=0, \theta p 1=26,57^{\circ} ).

Passo 1

O enunciado nos dá um estado de tensão plana com \sigma_x=8, \sigma_y=2 e \tau_{xy}=4 (todas em \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2) e pede as tensões principais \sigma_1,\sigma_2 e as direções \theta_{p1},\theta_{p2}. Vamos usar as fórmulas clássicas de tensão média, raio de Mohr e ângulo de rotação do eixo principal.

Passo 2

Calculamos a tensão média \sigma_m e o raio R de Mohr:
\sigma_m=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} =\frac{8+2}{2}=5,
R =\sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\Bigr)^2+\tau_{xy}^2} =\sqrt{\bigl(\tfrac{8-2}{2}\bigr)^2+4^2} =\sqrt{3^2+16} =5.

Passo 3

As tensões principais vêm de
\sigma_{1,2} =\sigma_m\pm R =5\pm5,
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\sigma_1=10,\quad\sigma_2=0
(em \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2).

Passo 4

O ângulo \theta_{p1} entre o eixo x e a direção de \sigma_1 satisfaz
\tan2\theta_{p1} =\frac{2\,\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y} =\frac{2\cdot4}{8-2} =\frac{8}{6} =\tfrac{4}{3}.
Então
2\theta_{p1}=\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)\approx53,13^\circ,
\theta_{p1}=\frac{53,13^\circ}{2}\approx26,57^\circ.
A segunda direção principal fica \theta_{p2}=\theta_{p1}+90^\circ\approx116,57^\circ.

Resposta

\sigma_1=10\\ \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2,\quad \sigma_2=0\\ \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2,\quad \theta_{p1}=26,57^\circ,\quad \theta_{p2}=116,57^\circ.

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